1. Определение и примеры векторных пространств.

Векторным (линейным) пространством над полем К назыв. множество V с операциями сложения и умножения на эл-ты поля К, обладающими следующими свойствами:

1. Относительно сложения V есть абелева группа.

2. r(a + b) = ra + rb .

3. (r + s)a = ra + sa .

4. (rs)a = r(sa) .

5. 1a = a .

для любых a,b из V и для любых r,s из К.

Элементы вект. пр-ва V наз векторами.

Примеры векторных пространств

Пример 1.

Векторы в смысле элементарной геометрии будем наз. Геометрическими векторами. Операции над ними удовлетвор. Всем аксиомам векторного пространства, что и послужило основой для данного выше определения.

Пространство геом. векторов евклидовой плоскости мы будем обозн. через E² .

Пространство геом. векторов евклидова пространства будем обозн. через E³ .

Пространство геом. векторов – это векторное пр-во над полем вещественных чисел R .

Пример 2.

Множество Kⁿ строк длинны n с элементами из поля К явл. векторным про-вом над К относительно операций, определенных формулами:

(a₁, a₂,…, a_n) + (b₁,b₂,…,b_n)=(a₁+b₁, a₂+b₂, … , a_n+ b_n)

r(a₁, … , a_n) = (ra₁, … ,ra_n);

Докажем одну из аксиом вект. простр.

(rs) (a₁, a₂,…, a_n) = ((rs) a₁, … , (rs) a_n) = (r(s a₁), … ,r(s a_n)) = r(sa₁, … , sa_n) = r(s(a₁, a₂,…, a_n)).

Пример 3.

Множество F(X,A) всех функций на множестве X со знач. в поле K является векторным пространством относительно обычных операций над функциями:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(rf)(x) = rf(x)

Пример 4.

Пусть К – подполе поля L. Тогда L можно рассматривать как векторное пространство над К, определив умножение эл-тов из L на эл-ты К просто как умножение в L. В частности поле комплексных чисел С есть в этом смысле векторное пространство над R.

2. Подпространства линейного пространства: определения и примеры

Подмножество U векторного пространства V наз. подпространством, если

1. U является подгруппой аддитивной группы V

2. a ϵ U => ra ϵ U для любого r ϵ K.

Замечание.

В определении подгруппы требуется чтобы: a ϵ U => -a ϵ U.

При наличии условия 2) из опред. подпростр. последнее св-во выполн. автом., так как -a = (-1)a.

Подпространство векторного пространства само является векторным пространством относительно тех же операций.

Пример 1.В пространстве E³ множество векторов, параллельных заданной плоскости или прямой, является подпространством.

Пример 2.В пространстве F(X,R) всех ф-ций на заданном промежутке числовой прямой X множество непрерывных ф-ций является подпространством.

Пример 3.

В каждом векторном пространстве V есть два тривиальных подпространства: само пространство V и нулевое подпространство (состоящее из одного нулевого вектора). Последнее мы будем обозначать символом 0.

3. Линейные комбинации векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов и их св-ва.

Пусть V векторное пространство над полем К.

Опр1. Всякое выражение вида r₁a₁ +r₂a₂ +…+r_na_n,где r₁,r₂,…,r_n– эл-ты из поля К, наз. линейной комбинацией векторов a₁, a₂,…, a_n из векторного пространства V.

Опр2. Говорят, что вектор b линейно выражается через векторы a₁, a₂,…, a_n, если он равен некоторой их линейной комбинации.

Опр3.Линейная комбинация r₁a₁ + r₂a₂ + … + r_na_n (r₁, r₂, … , r_{n -}элементы из поля К) векторов пространства V наз. тривиальной (простой), если r₁ =r₂=…=r_n=0, и нетривиальной в противном случае.

Опр4. Векторы a₁, a₂,…, a_n назыв. линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю, и линейно независимыми в противном случае.

Лемма 1. Векторы a₁, a₂,…, a_n , (n>1) ЛЗ тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через остальные.

Лемма 2. Пусть векторы a₁, a₂,…, a_n - ЛНЗ. Вектор b линейно выражается через a₁, a₂,…, a_n тогда и только тогда, когда векторы a₁, a₂,…, a_n,b – ЛЗ.

Лемма 3. Пусть вектор b линейно выражается через a₁, a₂,…, a_n . Это выражение единственно тогда и только тогда, когда a₁, a₂,…, a_n - ЛНЗ.