1.Возведение в степень.

Целой положительной степенью квадратной матрицы называют произведение матриц, равных , т.е. .

2.Транспонирование матриц.

Транспонирование матрицы есть переход матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

, ,

т.е. если имеет размер , то имеет размер .

Свойства операции транспонирования.

1. .

2. .

3.

4.

2. Обратная матрица. Определение. Свойства. Обратная матрица

Для каждого числа существует обратное число такое, что произведение . Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

.

Только квадратная матрица может иметь обратную, однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.

Определение. Матрица является невырожденной (неособенной), если , в противном случае при матрица называется вырожденной (особенной).

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица является невырожденной (неособенной) и вычисляется по формуле

,

где + - присоединенная матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы, т.е. .