4°. Корни n-ой степени из комплексного числа.

Рассмотрим уравнение

, С, N.

Пусть , а решение уравнения (9) ищется в виде . Тогда (9) принимает вид , откуда находим, что , , т.е.

, , .

Таким образом, уравнение (9) имеет корни

, .

Покажем, что среди (10) ровно различных корней. Действительно, различны, т.к. их аргументы различны и отличаются меньше, чем на . Далее, , т.к. . Аналогично .

Таким образом, уравнение (9) при имеет ровно корней расположенных в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в т. O.

Таким образом, доказана

Теорема 2. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа всегда возможно. Все значения корня n-ой степени из расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в нуле и радиуса . При этом,

.

Следствие. Корни n-ой степени из 1 выражаются формулой

.

Произведение двух корней из 1 является корнем, 1 – корень n-ой степени из единицы, корня : .

Матрицы

Матрицы. Определение. Операции над матрицами, их свойства

Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов.

Матрицы широко применяются для описания экономических объектов и процессов. Элементами матрицы могут быть числа, буквы (символы) и другие объекты.

Матрицы обозначают прописными (заглавными) буквами A, B, C, …, элементы матрицы – строчными буквами с двойной индексацией a_ij, где i - номер строки, j - номер столбца:

Виды матриц:

1) Матрица-строка: ;

2) Матрица-столбец: ; 3) Нулевая матрица: ;

4) Квадратная матрица – если (например n = 2): ;

5) Диагональная матрица (напр. 3-го порядка, где любые числа ): ;

6) Единичная матрица (например, 3-го порядка)

Операции над матрицами

1.Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы A на число называется матрица ,элементы которой для

Если , то (нулевая матрица того же размера).

2.Сложение матриц.

Суммой матриц и одинакового размера называется матрица , элементы которой для

Пример. Вычислить С = А + В, если . Р е ш е н и е: .

3.Вычитание матриц.

Разность матриц одинакового размера определяется как .

4.Умножение матриц.

Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй (условие согласованности). Тогда произведением матриц называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы :

, где

Пример. Вычислить произведение матриц , где , .

Р е ш е н и е.

Найдем размер матрицы произведения , следовательно, умножение возможно.

= .

Свойства операций сложения и умножения матриц

1. .

2. .

3. .

4. .

5)

6)

7)

8) (в общем случае). Кроме того, если существует, то может вообще не существовать.

9) , где - единичная квадратная матрица.

10) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. если , то не следует, что или .

Пример. , , но .