Задание 2. Системы уравнений.
1. Решить систему методом Крамера и проверить методом Гаусса.
2.Решить систему с помощью обратной матрицы.
Задание 3. Прямая на плоскости
В
АВС
даны координаты вершин:
,
,
1.Построить чертеж. 2.Найти периметр треугольника.
3.Составить уравнения сторон треугольника. 4.Составить уравнение прямой ВN // АС.
5.Составить уравнение медианы СД. 6.Уравнение высоты АЕ, найти ее длину.
7.Найти углы треугольника. 8.Найти координаты центра тяжести.
Задание 4. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ. Даны координаты вершин пирамиды А А А А .
А (2; 2; 2), А (-1; 6; 2), А (-2; 3; 4), А (2; 6; 9). Найти:
1) длину ребра А А ; 2) угол между ребрами А А и А А ;3) уравнение прямой А А ;
4) площадь грани А А А ; 5) объем пирамиды; 6) уравнение плоскости А А А ;
7) угол между ребром А А и гранью А А А ; 8)уравнение высоты и ее длину, опущенной
из вершины А на грань А А А ; 9)сделать чертеж.
Задание 5. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
1.Найти координаты вершины и фокусов параболы, составить уравнения оси и директрисы параболы: а/ х2+2х +8у-23=0, б/ у2- 6у- 4х + 1=0.
2. Построить кривые по данным уравнениям: а) (х +2) +(у- 1) = 36
б)
,
в)
Задание 6. Предел функции.
6.1.
Вычислить предел функции при х
х
:
f(x)
=
а) х
=
2; б) х
=
-2; в) х
=
.
6.2.
Вычислить предел функции при х
х
:
f(x)
=
х
=
-3.
6.3.
Вычислить предел функции при х
0: f(x)
=
6.4.
Вычислить
предел функции при х
:
f (x) =
Задание 7. Найти производные функций:
а)
у =
,
б) у =
,
в) у = arcsin
2x
·2
,
г) y
= ln
cos7x.
Задание 8. Применение производной.
а) Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой у = -1/2х2 + 3х +1/2 в точке, с абсциссой x0 = -1 .
б) Найти максимальную скорость, если точка движется по закону S(t) = - t3+ 24t2 – 5
в) Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x3 + 3x + 3 на -3; 2.
Задание 9. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ.
Исследовать данные функции методом дифференциального исчисления и построить их графики:
а)
у = х
+3х
+2 б) у =
Задание 10. Интегральное исчисление.
1.Найти неопределенный интеграл, проверить результат дифференцированием в заданиях а, б, в, г.
2. Вычислить неопределенный интеграл в заданиях д, е.
3.Вычислить определенный интеграл в задании ж.
а)
б)14
dx
в)
г)
д)
е)
ж)
Задание 11. Площадь фигуры.
С помощью определенного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж: а) х + у – 4 = 0, 2х – у + 10 = 0, у = 0. б) у = х3 - 3, х = 0, у = х +2, х = 2.
Задание 12. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
Вычислить
приближенное значение определенного
интеграла с помощью формулы Симпсона,
разбив отрезок на 10 частей, с точностью
до 0,001:
dx
Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных.
Задание
13. Найти
область определения функции и изобразить
ее:
Задание
14. Дана
функция z
= f(x;y).
Найти:
,
,
,
,
:
z
=
Задание 15. Дана функция z = f(x;y), точка М( х ; y ) и вектор = {х ;у }. Найти:
а) производную в точке М по направлению вектора ; б) grad z в точке М.
z = x - y3 – 3xy; М( 1; 1) и вектор = {2;1}.
Задание 16. Найти точки экстремума функции f(x) = - 3 x2 - 2xy - 3 y2 - 24 x -24y - 45
Задание 17. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке С(х ;y ;z ): z = y2 + x2 + xy - 4x - 5y, С(1;2;z )
Задание 18. Комплексные числа. а) Построить числа на комплексной плоскости: z1 = - 2 + 6i, z2 = 6 + 3i, z3 = - 6i, z4 = 4, z5 = - 2 – 4i, z6 = 8 – 2i
б) Выполнить действия:1) Z1+Z2 2) Z1-Z2 3) Z1´ Z2 4) Z1 : Z2, если Z1 = - 6 +3i, Z2 = 4 - 3i
в) Записать комплексное число в тригонометрической и показательной форме: Z = - i
г)
Записать комплексное число в алгебраической
форме: Z1=
8
, Z2=
4( cos
p/6+
i
sin
p/6)
Задание 19. Найти частные решения линейных дифференциальных уравнений.
(х+4)dy –( y -2)dx = 0, если у = 2 при х = 3;
Задание 20. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
а) Найти общее решение: 1) у² -7у¢ -8у = 0 2) у²+2у¢+2у = 0 3)у²+6у¢+9у = 0
б) Найти частное решение: 1) у²+у¢ -6у = 0, если у = 0, у¢ = -10 при х=0
у² -8у¢+16у = 0, если у = 0, у¢=9 при х=0