Задание 4. Прямая и плоскость.

Даны координаты вершин пирамиды А А А А .

А (1; 3; 1), А (-2; 5; 1), А (-1; 2; 6), А (1; 5; 10). Найти:

1) длину ребра А А ; 2) угол между ребрами А А и А А ;3) уравнение прямой А А ;

4) площадь грани А А А ; 5) объем пирамиды; 6) уравнение плоскости А А А ;

7) угол между ребром А А и гранью А А А ; 8)уравнение высоты и ее длину, опущенной

из вершины А на грань А А А ; 9)сделать чертеж.

Задание 5. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

1.Найти координаты вершины и фокусов параболы, составить уравнения оси и директрисы параболы: а/ у²+2у-20х-79=0, б/ х²-4х+8у-12=0.

2. Построить кривые по данным уравнениям: а) (х -1) +(у +1) = 1

б) , в)

Задание 6. Предел функции.

6.1. Вычислить предел функции при х х : f(x) = а) х = -1; б) х = 1; в) х = .

6.2. Вычислить предел функции при х х : f(x) = х = 4.

6.3. Вычислить предел функции при х 0: f(x) =

6.4. Вычислить предел функции при х : f (x) =

Задание 7. Найти производные функций:

а) у = , б) у = , в) у = tg 7x · e , г) y = arcsin ln2x.

Задание 8. Применение производной.

а) Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой у = 1/2х² + 5х + 3 в точке, с абсциссой x₀ = 0 .

б) Найти максимальную скорость, если точка движется по закону S(t) = -1/6 t³+ 1/2t² + 1/2t + 1

в) Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 1/3x³ + x² - 1на 0; 3

Задание 9. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ.

Исследовать данные функции методом дифференциального исчисления и построить их графики:

а) у = 2х -15х +24х +4 б) у =

Задание 10. Интегральное исчисление.

1.Найти неопределенный интеграл, проверить результат дифференцированием в заданиях а, б, в, г.

2. Вычислить неопределенный интеграл в заданиях д, е.

3.Вычислить определенный интеграл в задании ж.

а) б) 8 dx в)

г) д) е) ж)

Задание 11. Площадь фигуры.

С помощью определенного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж: а) 4х + 5у –16 = 0, 4х – 2у +16 = 0, у = 0. б) у = х³ - 2, у = х + 2, х = 0, х = -3

Задание 12. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок на 10 частей, с точностью до 0,001: dx

Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных.

Задание 13. Найти область определения функции и изобразить ее:

Задание 14. Дана функция z = f(x;y). Найти: , , , , : z =

Задание 15. Дана функция z = f(x;y), точка М( х ; y ) и вектор = {х ;у }. Найти:

а) производную в точке М по направлению вектора ; б) grad z в точке М.

z = y² – x² + xy - 2x - 6y; М( 2; 3) и вектор = {4;-3}.

Задание 16. Найти точки экстремума функции f(x) = - x² - 2xy - 3 y² - 4 x -4y + 3

Задание 17. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке С(х ;y ;z ): z = 2xy + 3y² – 5x; С(3;4;z )

Задание 18. Комплексные числа. а) Построить числа на комплексной плоскости: z₁ = - 2 + 7i, z₂ = 7 + i, z₃ = 6i, z₄ = - 4, z₅ = - 8 – 2i, z₆ = 1 – 5i

б) Выполнить действия:1) Z₁+Z₂ 2) Z₁-Z₂ 3) Z₁´ Z₂ 4) Z₁ : Z₂, если Z₁ =3-2i, Z₂ = -1-3i

в) Записать комплексное число в тригонометрической и показательной форме: Z = -1- i

г) Записать комплексное число в алгебраической форме: Z₁= e^{ip / 2}, Z₂= 2( cos(- p/4)+ i sin(-p/4))

Задание 19. Найти частные решения линейных дифференциальных уравнений.

xdy = , если у = 1 при х = e;

Задание 20. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

а) Найти общее решение: 1) у²+у¢ -6у =0 2) у² -18у¢+81у =0 3) у²+2у¢+2у = 0

б) Найти частное решение: 1) у²+2у¢ -8у = 0, если у =4, у¢= -4 при х =0

2. у² -3у¢+2у = 0, если у =2, у¢=3 при х =0