22. Эллипсоид.
Эллипсоидом называется поверхность, определяемая в декартовой системе координат Oxyz каноническим уравнением
где величины а, b, c называют полуосями эллипсоида. Точки пересечения осей координат с эллипсоидом называют вершинами эллипсоида.
Плоскость Oхz пересекает эллипсоид по эллипсу, который определяется системой
плоскость Oyz – по эллипсу, определяемому уравнениями
Если две полуоси эллипсоида равны, например a = b, получаем:
Если пересечь эллипсоид плоскостью z = h, то получим окружность
с
центром на оси Oz.
Поэтому такой эллипсоид можно получить
вращением
расположенного в плоскости Oхz
эллипса
вокруг оси Oz.
Эллипсоид
называют
эллипсоидом
вращения.
Отметим также, что в случае a = b = c эллипсоид является сферой.
23. Гиперболоиды.
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в декартовой системе координат Oxyz определяется каноническим уравнением:
Однополостный гиперболоид изображается в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся в обе стороны по мере удаления от плоскости Оху.
Двуполостным гиперболоидом называют поверхность, определяемую в декартовой системе координат Oxyz каноническим уравнением
Двуполостный гиперболоид изображается в виде поверхности, состоящей из двух отдельных «полостей», каждая из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши.
Величины
a,
b,
c
называют полуосями
двуполостного
гиперболоида.
Если полуоси a
и b
гиперболоида (однополостного или
двуполостного) равны, то он называется
гиперболоидом вращения и получается
вращением вокруг оси Oz
гиперболы
в случае однополостного гиперболоида
и гиперболы
в случае двуполостного гиперболоида.
24. Параболоиды.
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, определяемая в декартовой системе координат Oxyz каноническим уравнением
Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая каноническим уравнением
Из уравнений (1) и (2) вытекает, что плоскости Oxz и Oyz являются плоскостями симметрии параболоидов.
Ось Oz называется осью параболоида, а точка ее пересечения с поверхностью параболоида – вершиной.
При
эллиптический параболоид, заданный
уравнением
,
называется
параболоидом
вращения.
Он получается при вращении параболы
вокруг оси Oz.
25. Линейное векторное пространство. Подпространство. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Базис и размерность линейного пространства. Координаты векторов. Преобразование координат вектора при замене базиса.
Векторное (линейное) пространство — это математическая структура, которая формируется набором элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр.
Пусть
задано множество W,
в
котором определены те же операции, что
и в линейном пространстве V.
Множество
назовем подпространством
линейного
пространства V,
если выполнены следующие условия: 1)
если
,
то
;
2) если
,
то
.
Система векторов
называется линейно
зависимой,
если существует нетривиальная линейная
комбинация этих векторов, равная нулевому
вектору, т.е:
Если равенство
выполняется только в случае
,
то система векторов
называется линейно
независимой.
Базис и размерность. Линейное пространство называется конечномерным, если существует такое натуральное число n, что в этом пространстве найдется система из n линейно независимых векторов, а любая система из (n+1) вектора является линейно зависимой. Число n в этом случае называется размерностью пространства.
Базисом n-мерного линейного пространства V называется любая упорядоченная система n линейно независимых векторов этого пространства.
называется
разложением
вектора x
по базису
,
а коэффициенты
– координатами
вектора x
в базисе
.
Если вектор x
в некотором базисе имеет координаты
,
то записывают
.
26. Евклидово пространство. Неравенство Буняковского-Коши. Ортогональный и ортонормированный базисы. Разложение вектора по ортогональному базису.
Евклидовым пространством называется линейное действительное пространство, в котором задана операция скалярного умножения векторов, удовлетворяющая аксиомам:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
при
для
.