18. Прямая в пространстве. Способы ее задания. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.

Прямая может быть задана пересечением двух плоскостей:

Параметрические уравнения:

Каноническое уравнение:

Углом между двумя прямыми считают один из двух смежных углов, которые образуют прямые, проведенные параллельно данным через какую-нибудь точку пространства.

Условие параллельности прямых совпадает с условием коллинеарности векторов: .

Условие перпендикулярности прямых равносильно условию перпендикул. их направляющих векторов: l₁l₂+m₁m₂+n₁n₂=0

Условие расположения двух прямых, заданных их каноническими уравнениями, в одной плоскости (условие компланарности двух прямых), имеет вид:

Если величины не пропорциональны величинам , то условие является необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых в пространстве.

19. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

Углом между прямой L и плоскостью S считают острый угол α между этой прямой и ее проекцией на плоскость S (рис.1).

Этот угол определяется равенством:

Условие параллельности прямой и плоскости:

Al + Bm +Cn = 0

Прямая перпендикулярна плоскости в том и только том случае, когда направляющий вектор этой прямой коллинеарен нормальному вектору плоскости, что равносильно следующему равенству:

Прямая принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда одновременно будут выполняться два равенства:

где первое из равенств означает, что точка , через которую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе равенство из выражает условие параллельности прямой и плоскости.

20. Конические поверхности.

Конической называется поверхность, описываемая прямой, движущейся вдоль некоторой линии и проходящей через некоторую точку. Уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале координат, осью которого служит ось Oz, записывается в виде:

Геометрически коническую поверхность можно изобразить:

Аналогично, уравнения , являются уравнениями конусов второго порядка с вершиной в начале координат, осями которых служат соответственно оси Оу, Ох.

21. Цилиндрические поверхности.

Поверхность, описываемая прямой, движущейся вдоль некоторой линии и остающейся параллельной некоторому заданному направлению, называется цилиндрической.

Уравнение вида F(x, y) = 0 в декартовой системе координат в пространстве определяет цилиндрическую поверхность, у которой образующие параллельны оси Oz. Аналогично, уравнение F(x, z) = 0 определяет цилиндрическую поверхность с образующими параллельными оси Oy, а F(y, z) = 0 – цилиндрическую поверхность с образующими параллельными оси Ох.

Канонические уравнения цилиндров второго порядка:

эллиптический цилиндр

гиперболический цилиндр

параболический цилиндр

Образующие всех трех цилиндров, определяемых уравнениями, параллельны оси Oz, а направляющей служит соответствующая кривая второго порядка (эллипс, гипербола, парабола), лежащая в плоскости Oxy.

Отметим, что кривую в пространстве можно задать либо параметрически, либо в виде линии пересечения двух поверхностей. Например, уравнения направляющей эллиптического цилиндра, т.е. уравнения эллипса в плоскости Oxy, имеют вид