4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований.

Рассмотрим прямоугольную матрицу А.. Выберем некоторые k строк и некоторые k столбцов матрицы. Из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, составим матрицу. Определитель полученной матрицы называется минором.

Рангом матрицы A называется наибольший порядок ее ненулевого минора.

Для ранга матрицы A используют следующие обозначения: или просто r, когда ясно, о какой матрице идет речь.

Базисный минор. Говорят, что некоторый столбец (некоторая строка) есть линейная комбинация других k столбцов (строк), если его (ее) можно представить в виде суммы этих k столбцов (строк), умноженных соответственно на числа .

Будем говорить, что столбцы матрицы линейно зависимы, если хотя бы один из них есть нетривиальная (в которой хотя бы один из коэффициентов не равен нулю) линейная комбинация остальных. В противном случае столбцы называют линейно независимыми.

Аналогично определяется линейная независимость строк.

Окаймляющим минором для минора M порядка k матрицы A назовем минор порядка k + 1 этой матрицы, который содержит минор M.

Базисным минором матрицы A будем называть ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы A.

Метод окаймляющих миноров.

Для вычисления ранга матрицы можно использовать метод окаймляющих миноров, который основывается на следующем факте: если матрица А имеет ненулевой минор порядка r и все его окаймляющие миноры равны нулю или не существуют, то ранг матрицы А равен r.

5. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Формулы Крамера.

Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности системы линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы. Следствие 1. Если ранг матрицы системы меньше ранга ее расширенной матрицы, то система несовместна.

Пример 1. Исследовать на совместность систему

Решение. .

Имеем . Система несовместна.

Формулы Крамера:

,

где – определитель, который получается из определителя системы  путем замены j-го столбца на столбец свободных членов.

Пример 1. Решить систему

Решение. .

6. Метод Гаусса.

Распространенным точным методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса, который применяется для решения произвольных систем линейных алгебраических уравнений. Суть метода состоит в том, что посредством элементарных преобразований система линейных алгебраических уравнений приводится к треугольной или трапециевидной форме (прямой ход метода Гаусса), при помощи которой непосредственно получаются все решения системы (обратный ход метода Гаусса).

На практике прямой ход метода Гаусса как правило применяется не к системе уравнений, а к ее расширенной матрице .

Пример 1. Решить систему

Решение. Последовательно получаем следующие матрицы:

По последней матрице записываем систему уравнений, равносильную данной:

Начиная снизу вверх, последовательно находим: , Итак, (2; –1; 1) – единственное решение данной системы.