1. Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами. Произведение и транспонирование матриц.

Прямоугольная таблица чисел из множества называется матрицей. Символом обозначено множество действительных чисел. Для записи матрицы используют также квадратные скобки или двойные черты .

Суммой A+B двух матриц одинаковых размерностей называется матрица C той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B.

Разностью A-B двух матриц одинаковых размерностей назовем матрицу C такой же размерности, которая определяется по правилу C = A + (-1)B

Произведением C=AB двух матриц называется матрица C,

у которой каждый элемент , стоящий на пересечении i-той строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B.

Матрица размерности называется транспонированной к матрице A размерности , если она получена путем замены строк матрицы A столбцами этой же матрицы с теми же номерами:

Свойства:

1. ,

2. ,

3. ,

4. 

2. Определители 2 и 3-го порядков. Вычисление определителя n-го порядка. Свойства определителей 3-го порядка.

Каждой квадратной матрице А можно поставить в соответствие число, которое называется ее определителем и обозначается через |A| .

Определитель 2-го порядка .

Для матрицы определителем третьего порядка назовем число, вычисляемое по правилу(правило звезд):

Для обозначения определителя используются символы .

Определителем или детерминантом квадратной матрицы А порядка n называется число, вычисленное по правилу:

.

В частности, определитель четвертого порядка, соответствующий матрице, определяется равенством:

Свойства определителей

1) При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

2) При перестановке двух строк или двух столбцов знак определителя меняется на противоположный.

3) Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковых строки, то он равен нулю.

4) Общий множитель всех элементов одного столбца или одной строки можно вынести за знак определителя.

5) Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то и сам определитель равен нулю

6) Если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7) Пусть каждый элемент i-го столбца или j-ой строки определителя есть сумма двух чисел. Тогда равен сумме двух определителей, из которых один в i-ом столбце (j-ой строке) имеет первые слагаемые, а другой – вторые слагаемые суммы; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

8) Определитель не изменится, если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель .

9) Для каждого определителя порядка , имеет место разложение по строке:

или по столбцу:

3. Обратная матрица и ее построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Матричный метод решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений.

Алгебраическим дополнением называется число: Если для матрицы A существует такая матрица , что где – единичная матрица, то матрица называется обратной для матрицы A. Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Находим сначала детерминант матрицы А, который должен быть не равен 0, значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле:   , где А_ij(i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а_{i j} исходной матрицы.

Матричный метод. Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы совпадает с вектором C = A^1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A^-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.