45.Коэффициент корреляции
О.1.
Корреляционная зависимость между
случайными величинами
и
называется
линейной,
если обе функции регрессии
и
являются линейными.
Для характеристики силы (тесноты) линейной корреляционной зависимости между случайными величинами используется коэффициент корреляции.
О.2.
Коэффициентом корреляции
называется безразмерная величина
,
определяемая соотношением
,
где
- корреляционный
момент;
и
- среднее квадратическое отклонение
величин
и
соответственно.
О.3. Две случайные величины и называются коррелированными, если их коэффициент корреляции отличен от нуля, иначе – некоррелированными.
Замечание 1. Две коррелированные случайные величины являются зависимыми, однако, обратное утверждение может не выполняться.
Свойства коэффициента корреляции
1.
Если
и
независимые
случайные величины, то
,
однако обратное утверждение неверно.
2.
Значения коэффициента корреляции
заключены на отрезке
или
.
При этом, чем ближе
к единице, тем теснее связь между
случайными величинами
и
.
3.
Если
,
то
и
связаны линейной функциональной
зависимостью.
В качестве оценки коэффициента корреляции генеральной совокупности используется выборочный коэффициент корреляции, который определяется по выборке.
О.4. Выборочным коэффициентом корреляции между случайными величинами и называется величина
,
где
- варианты (наблюдавшиеся значения)
признаков
и
;
-
частота пары вариант
;
- объем выборки (сумма всех частот);
-
выборочные средние квадратические
отклонения.
47.Неравенство Чебышева)
Вероятность
того, что отклонение случайной величины
от ее математического ожидания по
абсолютной величине меньше любого числа
,
не меньше чем
,
т.е.
.
Для
события
,
противоположного событию
,
неравенство Чебышева может быть записано
в виде:
.
Теорема
3.
(теорема
Чебышева) Если
- попарно независимые случайные величины,
причем дисперсии их равномерно ограничены
(не превышают постоянного числа
),
то, как бы мало ни было
,
вероятность неравенства:
будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.
Замечание 1. Теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число случайных величин, имеющих равномерно ограниченные дисперсии и являющиеся независимыми, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.
Теорема 4. (частный случай теоремы Чебышева)
Если - попарно независимые случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидание , и их дисперсии равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то, как бы мало ни было , вероятность неравенства:
будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.
Сущность
теоремы Чебышева:
хотя отдельные независимые случайные
величины могут принимать значения,
далекие от своих математических ожиданий,
среднее арифметическое достаточно
большого числа случайных величин с
большой вероятностью принимает значения,
близкие к определенному постоянному
числу, а именно к числу
.
Другими словами, отдельные случайные
величины могут иметь значительный
разброс, а их среднее арифметическое
рассеянно мало.
Значение теоремы Чебышева для практики:
При измерении некоторой физической величины производят несколько измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве искомого размера. Теорема Чебышева указывает условия, при которых указанный способ может быть применен.
На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности исследуемых объектов.
Пусть выполнены условия схемы независимых испытаний Бернулли, причем достаточно велико.
48.теорема Бернулли) Если в каждом из независимых испытаний вероятность события постоянна, то вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности по абсолютной величине будет сколь угодно малым, будет как угодно близка к единице если число испытаний достаточно велико, т.е.
.
Сущность теоремы Бернулли: теорема Бернулли позволяет предвидеть, какова примерно будет относительная частота появления события.