35. Нормальное распределение

О.2. Закон распределения НСВ называется нормальным, если ее плотность распределения задается в виде:

,

где и - параметры нормального распределения.

Вероятностный смысл параметров нормального распределения:

- математическое ожидание,

- среднее квадратическое отклонение.

О.3. График плотности нормального распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса и он имеет вид:

О. 4. Нормальное распределение с параметрами называют нормированным (стандартным).

Свойства нормального распределения:

1. Зная плотность распределения и используя формулу ,

можно найти функцию распределения:

.

2. Вероятность попадания нормально-распределенной НСВ в интервал определяется по формуле:

,

где - функция Лапласа.

3. Вероятность того, что отклонение нормально-распределенной НСВ от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше заданного числа , определяется по формуле:

.

Если , то .

Правило трех сигм:

Если НСВ распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т. е. все значения НСВ попадают в интервал с вероятностью близкой к единице.

Теорема 1. (центральная предельная теорема Ляпунова)

Если НСВ представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, то влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

36.Показательное распределение

О.1. Закон распределения НСВ называется показательным, если ее плотность распределения задается в виде:

,

где - параметр показательного распределения.

Свойства показательного распределения:

1. Зная плотность распределения и используя формулу ,

можно найти функцию распределения:

2. Если НСВ имеет показательное распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:

.

3. Вероятность попадания показательно-распределенной НСВ в интервал определяется по формуле:

,

где значения определяются по таблице.

37.Распределение Пирсона   – распределение случайной величины

где случайные величины X₁, X₂,…, X_n независимы и имеют одно и тоже распределение N(0,1). При этом число слагаемых, т.е. n, называется «числом степеней свободы» распределения хи – квадрат.

38.Распределение t Стьюдента – это распределение случайной величины

где случайные величины U и X независимы, U имеет распределение стандартное нормальное распределение N(0,1), а X – распределение хи – квадрат с n степенями свободы. При этом n называется «числом степеней свободы» распределения Стьюдента.

39.Распределение Фишера – это распределение случайной величины

где случайные величины Х₁ и Х₂ независимы и имеют распределения хи – квадрат с числом степеней свободы k₁ и k₂ соответственно. При этом пара (k₁, k₂) – пара «чисел степеней свободы» распределения Фишера, а именно, k₁ – число степеней свободы числителя, а k₂ – число степеней свободы знаменателя.