17.Формула Пуассона
Если
число испытаний
достаточно велико, а вероятность
появления события
в каждом испытании постоянна и равна
,
причем
,
то применение формулы Муавра-Лапласа
становится невозможным.
Теорема
3.
Если вероятность
появления события
в каждом испытании стремится к нулю при
неограниченном увеличении числа
испытаний, причем произведение
сохраняет постоянное значение, т. е.
,
то вероятность
того, что в
независимых испытаниях событие
появится
раз удовлетворяет предельному равенству:
(2).
Строго
говоря, условие теоремы 2:
при
,
нарушает исходные предпосылки в схеме
независимых испытаний Бернулли, в
которой
.
Однако, если вероятность
постоянна и достаточно мала, а число
испытаний велико, причем произведение
незначительно, то из предельного
равенства (2) можно записать приближенную
формулу Пуассона:
.
18.Интегральная теорема Лапласа
Пусть выполнены условия схемы независимых испытаний Бернулли, причем достаточно велико.
Теорема
4. Если
вероятность появления события
в каждом испытании постоянна и равна
,
то вероятность
того, что в
независимых испытаниях событие
появится
до
раз
(не более
,
но не менее
),
приближенно вычисляется по формуле
,
где
,
,
.
Функцию
называют функцией Лапласа.
Для
определения значений функции
существуют специальные таблицы
соответствующие положительным значениям
аргумента
.
При отрицательных значениях аргумента
пользуются теми же таблицами, т. к.
функция нечетная, т.е.
.
19.Наивероятнейшее число появления события
О.
2.
Наивероятнейшим
числом
наступления события
в
независимых испытаниях называется
число, вероятность которого,
по крайней мере не меньше вероятностей
вычисленных для всех остальных
.
Наивероятнейшее число - наступления события в независимых испытаниях находится из неравенства
.
(1)
Т.
к.
,
то обязательно найдется хотя бы одно
целое число
,
удовлетворяющее неравенству (1).
Если обе части неравенства (1) – дробные числа, то - единственное целое число, расположенное между данными дробями.
Если
число
- целое, то наивероятнейших чисел будет
два:
и
.
Если
число
- целое, то наивероятнейшее число
.
20.Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
Пусть выполнены условия схемы независимых испытаний Бернулли, причем достаточно большое.
Используя
интегральную теорему Лапласа можно
найти вероятность того, что отклонение
относительной частоты
от постоянной вероятности
по абсолютной величине не превышает
заданного числа
.
А именно
,
где
.
21.Понятие и виды случайной величины
О. 1. Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять любое заранее не известное значение из множества всевозможных значений.
Понятие и виды случайной величины
О. 1. Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять любое заранее не известное значение из множества всевозможных значений.
Обозначаются
случайные величины прописными буквами
,
а их возможные значения строчными
.
Различают случайные величины двух видов: дискретные и непрерывные.
О. 2. Дискретной (прерывной) называют случайную величину, возможные значения которой представляют собой множество изолированных фиксированных величин (ДСВ).
Число возможных значений дискретной случайной величины может быть как конечным, так и бесконечным.
О. 3. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все возможные значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Число возможных значений непрерывной случайной величины является бесконечным.
22. Законом распределения вероятностей (рядом распределения) ДСВ называется последовательность возможных значений дискретной случайной величины и соответствующих им вероятностей.
Закон распределения вероятностей может быть задан:
1) Таблично, при этом первая строка в таблице содержит возможные значения ДСВ, а вторая – их вероятности:
X |
|
|
……. |
|
P |
|
|
…… |
|
2)
Графически, для чего в прямоугольной
системе координат строят точки
,
а затем соединяют их отрезками прямых.
Полученную фигуру называют многоугольником
распределения.