§2. Вычисление интегралов с помощью таблицы интегралов и их свойств

Рассмотрим несколько интегралов, которые могут быть получены с использованием таблицы интегралов, свойств интегралов (§1) и преобразований подынтегральной функции.

1. Найти

Решение.

Используя формулу сведем интеграл к табличному (формула 2):

2. Найти

Решение.

Преобразуем подынтегральную функцию: проведем почленное деление и преобразование степеней.

Здесь мы использовали свойства 3, 4, а также табличные интегралы 2,3.

3. Найти

Решение.

4. Найти

Решение.

Используя свойство 5 и табличный интеграл 5, получаем

5. Найти .

Решение.

Для удобства вынесем знак минус за знак интеграла (свойство 3):

.

Самостоятельно определите, какое свойство и какой табличный интеграл были использованы.

6. Найти

Решение.

7. Найти

Подынтегральную функцию преобразуем в сумму (см. Приложение).

8. Найти

Преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу понижения степени (см. Приложение)

9. Найти

Преобразуем подынтегральную функцию.

Задачи для самостоятельного решения.

Задание	Ответ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

§3. Интегрирование методом подведения под знак дифференциала

Метод интегрирования «подведением под знак дифференциала» основан на свойстве инвариантности интеграла.

Таблицу интегралов можно переписать следующим образом:

Таблица 2

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

Основная формула, которую мы используем в этом параграфе, следующая:

Запишем таблицу подведения под знак дифференциала. Она похожа и на таблицу производных (дифференциалов) и на таблицу интегралов. Помним, что операция подведения под знак дифференциала есть операция интегрирования, так как под дифференциалом оказывается первообразная для функции, находящейся в левой части формулы перед dx.

Таблица 3

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Примеры применения формулы 1 были разобраны в §2. Обратимся к другим формулам.

1. Найти

Применим формулу 5 из таблицы 3:

Тогда

Используя свойство инвариантности где и табличный интеграл получим

Легко проверить дифференцированием, что интеграл найден верно:

2. Найти

Решение.

Применим формулу 8 таблицы 3 и табличный интеграл 2 таблицы 2:

3. Найти

Решение.

Воспользуемся формулой 6 из таблицы 3.

4. Найти

Решение.

Воспользуемся формулой 3 из таблицы 3 и табличным интегралом 3 из таблицы 2.

5. Найти

Здесь нам придется применить подведение под дифференциал дважды. Сначала воспользуемся формулой 1 таблицы 3:

Теперь воспользуемся формулой 3 таблицы 3 и табличным интегралом 7 таблицы 2:

6. Найти .

Решение.

Сначала воспользуемся формулой 4 из таблицы 3, а затем формулой 9 таблицы 3 и табличным интегралом 2 таблицы 2:

7. Найти где a – любое число.

Решение.

Под дифференциалом нужно получить выражение Для этого используем формулы 1 и 2 из таблицы 3 и 2а таблицы 2.

Примеры для самостоятельного решения

Задание.	Ответ.
1.
2.
3.	(Рекомендуется внести в таблицу)
4.	(Рекомендуется внести в таблицу)
5.
6.
7.