27. Теорема Пуассона

Наслідок теореми неперервності

Теорема Пуассона

₁, ₂ … _n - загальна кількість успіхів

тоді

• характеристична функція Пуасона

Наслідок : зберігаються характеристічні функції _{збігаються розплділи}

28. Закон великих чисел

ξ1, ξ2…ξn- випадкові величини

будь-яке твердження про збіжність середніх випадкових величин – закон великих чисел.

Теорема Хінчина: нехай ξ1, ξ2…ξn- послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин (пнорвв)

Тоді

Доведемо: якщо ξn

Дов.: Sn=

l(t)= - позначення

=

l’(t)=

l’(0)=

- Характеристичн фунція Sn прямує до а, тоже

29. Закон великих чисел. Теореми Чебишева та Маркова.

Нехай {ξ_n, n≥1} — (ПНВВ) із скінченними мат сподіваннями a_i=Mξ_i , i≥1. Вважається, що для цієї послідовності виконується закон великих чисел (ЗВЧ), якщо за ймовірністю, тобто для будь-якого ε > 0 Надалі ξ_n→ ξ, n→∞ за ймовірністю, якщо для будь-якого ε > 0

(збіжність за ймовірністю). Отже будя-яке твердження про збіжність середніх арифметичних випадкових величин носить назву ЗВЧ.

Теорема Чебишева

Якщо { _n, n1} — послідовність незалежних випадкових величин з

M_k a_k , DC , k 1, то для неї виконується ЗВЧ

Доведення:

Теорема Маркова

Якщо { _n, n1} — послідовність незалежних випадкових величин зM_k a_k ,

то для неї виконується закон великих чисел.

Наслідок:

Якщо { _n, n1} — ПНВВ зM_k a_k , n≥1 тоді і для неї виконується ЗВЧ.

Нехай { _n, n1}— послідовність таких незалежних випадкових величин, що

Тоді вважається, що для послідовності { _n, n1}виконується:

а) умова Ліндберга, якщо для

б) умова Ляпунова, якщо для деякого δ 0

30. Центральна гранична теорема

(послідовні незалежні однаково розподілені випадкові величини)

M =a

p<D =

тоді:

dt

- стандартизовані випадкові величини

Наслідок – Інтегральна теорема М.-Л.

1 g p

{0 h q

a=

31. Умова Лінденберга, Теорема Ляпунова

1) умова Лінденберга

2) т.Ляпунова

Твердження

!!! L і L1 будуть виконуватись для ЦГТ, якщо п. рівномірно мала.

32. Дискретні ланцюги Маркова. Матриця перехідних ймовірностей.

– дискретні випадкові величин.

Послідовність

– додатні цілі значення

Називається Ланцюгом Маркова

Якщо для цілих додатних

Виконується рівність

– ймовірність пероходу iз стану в стан на -тому кроці;

– множина станів ланцюга Маркова

Якщо однакова, тоді ланцюг називається однорідним

– матриця переходу ймовірностей за 1 крок

Будь-яка матриця називається стохастичною

– матриця переходу за кроків

– стохастична матриця переходу за кроків

Рівність Чепмена-Колмогорова

33. Класифікація станів дискретного ланцюга Маркова

К1: Стан ієЕ назив. неістотним, якщо стан j та n є Z, P_ij(n)>0, але p_ij(m)=0 (назад не вертається), в протилежному випадку стан істотний.

Е=Е₀(істот) Е₁(неістот)

К2: два істотних стани i,j є Е₀, називаються істотні стани, що сполучаються i j, якщо n, s P_ij(n)>0, P_ij(s)>0.

- відношення на множині цілих чисел; відношення буде задовільним, якщо викон-ся 3 властивості:

1) рефлективність: i j

2) симетричність: i j j i

3) транзитивність: якщо i k, a k j, то j i

Якщо відношення задовольняють умови 1,2,3 то таке відношення називається відношенням еквівалентності.

Теорема

Відношення еквівалентності розбиває Е на перетинаючи класи еквівалентності Е₀= Е_0і, r>=1.

E=E₀₁ – неістотний ланцюг,якщо r=1, E₁= .

Приклади

P= ( )

Е₁={1,3}, E₀={2,4}

E₀={1,2,3,4}; E₀₁={1,2}; E₀₂={3,4}

K3: істотний стан ієЕ₀ має період d, d=НСД(={n;p_ii>0}

Якщо i(стрілка сам в себе),то d=1, стан неперіодичний

К4: істотний стан і називається рекурентним, якщо , і нерекурентним, якщо . f_i(n) – ймовірність І раз повернутися в стан і на n-ому кроці. f_i(n)=P{ =i, }

Якщо множина станів Е скінчена, то будь-який істотний стан – рекурентний.