17. Рівномірний, показниковий та нормальний розподіли, їх характеристики.

Класичні неперервні розподіли:

1. Рівномірний розподіл на [a;b]

2. Показниковий (експоненціальний)

3. Нормальний розподіл (Карла-Гаусса)

N(a,σ²)- параметри розподілу

	Дзвіноподібна функція

N(0,1) – стандартний нормальний розподіл

P(x)= - функція Лапласса

18. Функції від неперервних випадкових величин

ƺ F _ƺ (x) p _ƺ (x) ɳ = f(ƺ )

1. f(x) ↑ F_ɳ(x)= P ^-1(x)}=F_ƺ(f^-1(x))

y=x² y=1/x y=e^x

y= y=1/x y= ln x

Приклад:

ƺ має показниковий розподіл з параметром ƛ:

^F_ƺ(x) = 1-e^-ƛx, x>0

ɳ=ƺ²

f (x)= x²

f^-1(x)=

F_ɳ(x)=F_ƺ( )=1- e^-ƛx x>0

p(x)= x>0

2. f(x)↓

F_ɳ(x)= P ^-1(x)}=1-F_ƺ(f^-1(x))

^F _ƺ(x) = 1-e^-ƛx, x>0

ɳ=1/ƺ

f ^-1(x)=1/x

F_ɳ(x)=1-(1- e^-ƛ/x)= e^-ƛ/x x>0

p(x)= e^-ƛ/x _* x>0

3. f(x) ↑↓

F _ɳ(x)= P

П риклад

ƺ [-1;1]

F_ƺ(x)=

ɳ=|ƺ|

P_ɳ(x)=P{|ƺ|<x} = [0;1]

= {-x<ƺ<x} = F_ƺ(x)- F_ƺ(-x)= - =x

[-a;a] |ƺ| [0;a]

19. Багатовимірні розподіли.

Вектор, у якого компоненти випадкові величини – випадковий.

(x1,x2…xn)=P{

Властивості багатовимірної функції розподілу:

1. По кожній координаті функція неперервна зліва;

2. По кожній координаті функція неспадна;

3. ;

4. 

-частинна похідна

B-строчка, Т- стовпчик

P(x1,x2…xn)=

(багатовимірна функція = добутку одновимірних.

20. Нерівність Чебишева

Нерівність Чебишова — результат теорії ймовірностей, який стверджує, що для будь-якої випадкової змінної із скінченною дисперсією майже всі значення концентруються біля значення математичного сподівання. Нерівність Чебишова дає кількісні характеристики цієї властивості.

Теорема:

Нехай існує величина із математичним сподіванням і дисперсією . виконується нерівність

Доведення:

Звідси , отже

Наслідок нерівності Чебишева(правило 3-х ксі):

Модифікації нерівностей Чебишева:

При k=1 при . Це найпростіша модифікація.

21. Типи збіжності випадкових величин

Озн1.: ξ₁, ξ₂, … , ξ_n – слабо збігаються до випадкової величини ξ (позн: ξ_n => ξ), якщо відповідна функція розподілу F₁(x), F₂(x)… збігається до ф-ції розподілу F_ξ(x) у всіх точках непрерервності F(x)

Озн2.:Послідовність випадкових величин ξ₁, ξ₂, … , ξ_n збігається за ймовірностю (позн ) до випадкової величини ξ, якщо для будь-якого ε>0

Озн3.:Послідовність ξ₁, ξ₂, … , ξ_n збігається до ξ при n->+∞ в середньоквадратичному (позн ), якщо

О

(*)

зн4.: ξ₁, ξ₂, … , ξ_n збігається за ймовірністю 1 до випадкової величини ξ (позн ) (“майже напевно”), якщо

const

(*) за нерівністю Чебишева:

Const: якщо ξ_n=>const