39.Пуассонівський процес

П роцес П(t), t>0, який приймає значення {0…n}, називається пуассонівським, якщо:

1)ОПНП, П(0)=0; 2) Р{П(t+h)- П(t)=1}=λh+o(h);

3) P{ П(t+h)- П(t)=0}=1- λh+o(h); 4)P{ П(t+h)- П(t)>1}=o(h);

Позначимо

Розпишемо

h￫0

Для зручності введемо генератрису:

К-те рівняння множимо на

Отже, в момент часу t пуассонівський процес має пуассонівський розподіл з параметром

ПП(t)= ДП(t)=

40. Процеси відновлення. Функція відновлення

_{- ПНОРВВ}

Mτ_i ≥ a

S₁ = S₂ = S_n =

- випадковий процес приймає цілі невід’ємні значення, кількість точок відновлення до моменту часу t

Тотожність комарова-феллера

– Інтегральне рівняння відновлення

Приклад:

Пуасонівський процес

41. Звч для процесів відновлення:

Теорема 1

Теорема2-елементарна Теорема відновлення

Т3 основна теорема відновлення

T4 Вузлова теорема відновлення

Нехай виконуються умови теореми 3

f(t) монотонно спадна,інтегрована

Парадокс Т відновлення

42. Гіллясті процеси

ξ p(ξ>k)=p(k) ^{- ланцюг Маркова}

p(ξ=0)=p0>0

φn(s)=Ms^ηn φ(s)= Ms^ξ1= s^kp_k φ(s)=M_s

_P{η_n-1=k}= ^k(s)p(η_n-1=k)=φ_n-1 (φ(s))= φ_n(s)= φ_n-1(φ(s))= φ_n-2 (φ(φ(s))) φ ₁(s)= φ(s)

= φ_n-2 (φ₂(s))= φ_n-3 (φ₃(s))= φ₁(s) (φ_n-1(s))= φ(φ_n-1(s))

Mη_n=φ_n’(1)=M_n φ_n’(1)* φ’(φ_n-1(1)) *φ’_n-1(1)=φ’(1) φ’_n-1(1)₂m*m_n-1

m_n=m*m_n-1 m_n=mⁿ q_n=p(η_n=0) q₀=p(ξ=0)=p φ(0)=p₀=q₀ φ_n(0)=q_n

q_n =q_n-1(p₀) q_n= φ(q_n-1) lim q_n=π π= φ(π)

{ η_n =0}→ {η_n-1=0}

q_n≤ q_n+1 Момент зростання послідовності 0<q<1

ᴲ n⁼ π π= φ(π)-найбільший корінь φ(1)=1

q₁=p₀ q₂= φ(q₁) φ(s)=p₀+sp₁+s²p₂+…

π= φ(π) = φ(π) _n= π π≤

q₁ =φ (q₁)=p₀+p₁q₁+p₁q²+…≥p₀; q₁= φ(0)=p_0; q_2≥q_1;

q₂= φ (q₁) w₀(t)=-w(t)

η_n p_k=p{ ξ_i=k} p₀=p{ξ=0}>0-ймов. виродження

φ (s)= ^kp_k=p₀+sp₁+s² p2+…

φ_n(s)=Ms^Zn

1. φ_n(s)= φ_n-1(φ(s)) 2) φ_n(s)= φ(φ_n-1(s))

m_n=mⁿ m=Mξ φ’(1)=Mξ φ’_n(1)=M η_n

q_n=p{ η_n =0} q_n≤ q_n+1 lim q_n= π q_n = φ _n(0) φ(1)=1 π=1 q_n = φ(q_n-1) π= φ(π)

Припустимо = φ ( ) π≤ q₁₌p(ξ=0)=p₀ q₂= φ (q₁)

q₁≤ = φ( ) p₀ =p₀+ p₁+ p₂+… q_n≤ q₂=φ(q₁)≤φ( )=

q_n= φ(q_n-1) ≤ φ( )= q_n≤ n→∞ π≤

1. _m≥1 Mξ =m

φ’(1)≥1

й мов. вир-ня ≤1

0< π <1

2 )m<1 φ’(1)≥1 π=1

Виродиться

43. Ланцюги Маркова з неперервним часом. Класифікація станів

(стани Л.М.)

Даний процес називається ―″―, якщо для , для будь-якої послідовності моментів часу < <…< , виконується ( ймовірність переходу стану з моментом часу )

однорідний Л.М.( залежить тільки від довжини проміжку часу)

― ймовірність переходу за час t

матриця буде стохастичною

1)

2)

Рівняння Чепмана-Колмогорова

// в сумі = t+S

// в матричному вигляді

(е в степені матриця)

B ― матриця інфінітизимальних характеристик

Класифікація станів

Для кожного стану і введемо , час знаходження в стані і:

1. Якщо поглинаючий стан

2. Якщо миттєвий стан

3. Якщо затримуючий стан

// (…)-?