Перевод двоичных чисел в восьмеричный и шестнадцатеричный формат и наоборот.
При обработке данных и вычислениях одной из наиболее часто встречающихся задач является перевод чисел из одной системы счисления в другую. Рассмотрим простейшие алгоритмы перевода положительных чисел из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную.
Пусть требуется перевести двоичное число 10101101100110110111100101011001011(2) в восьмеричную систему счисления. Для этого следует разбить это двоичное число на триады, начиная с младшего бита (МБ). Получим:
010 101 101 100 110 110 111 100 101 011 001 011(2)
Если старшая триада не заполнена до конца, следует дописать в ее старшие разряды нули, как в нашем случае. После этого необходимо заменить двоичные триады, начиная с младшей, на числа, равные им в восьмеричной системе:
2 5 5 4 6 6 7 4 5 3 1 3(8)
Таким образом,
10101101100110110111100101011001011(2)=255466745313(8)
Аналогично поступаем при переводе чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, но разбиение двоичного числа производим на тетрады. Для примера будем использовать то же двоичное число, что и при переводе в восьмеричную систему счисления:
0101 0110 1100 1101 1011 1100 1010 1100 1011(2)
Заменяя двоичные тетрады на их шестнадцатеричные значения, получим искомое шестнадцатеричное число:
10101101100110110111100101011001011(2)=56CDBCACB(16)
Системы счисления. Перевод десятичных чисел в систему с основанием r.
Систе́ма счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
Система счисления:
даёт представления множества чисел (целых или вещественных)
даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление)
отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.
Системы счисления подразделяются на позиционные, непозиционные и смешанные.
Позиционная система счисления определяется целым числом b > 1, называемым основанием системы счисления. Система счисления с основанием b также называется b-ричной (в частности, двоичной, троичной, десятичной и т. п.).
Целое число x в b-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b
Каждая степень в такой записи называется разрядом (позицией), старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя степени . Обычно для ненулевого числа требуют, чтобы старшая цифра в b-ричном представлении была также ненулевой.
Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число записывают в виде последовательности его b-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:
Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:
Во избежание путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса:
С помощью n позиций в b-ричной системе счисления можно записать b^n чисел.
Перевод из десятичной в произвольную позиционную систему счисления
Целая часть 1. Последовательно делить целую часть десятичного числа на основание, пока десятичное число не станет равно нулю. 2. Полученные при делении остатки являются цифрами нужного числа. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка. Дробная часть 1. Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в которую требуется перевести. Отделяем целую часть. Продолжаем умножать дробную часть на основание новой системы, пока она не станет равной 0. 2. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка, как при целой части.
Пример:
4410 переведём в двоичную систему
44 делим на 2. частное 22, остаток 0
22 делим на 2. частное 11, остаток 0
11 делим на 2. частное 5, остаток 1
5 делим на 2. частное 2, остаток 1
2 делим на 2. частное 1, остаток 0
1 делим на 2. частное 0, остаток 1
Частное равно нулю, деление закончено. Теперь записав все остатки снизу вверх получим число 101100(2)