4.3.4. Расчет коэффициентов запаса и оценка усталостной прочности

Для каждого из расчетных сечений вала по формулам (4.10), (4.11), (4.9) рассчитывают коэффициенты запаса прочности и

n , затем проверяют условие (4.8) и делают необходимый вывод.

При недостаточной прочности вала дают рекомендации по ее повышению.

4.4 Пример решения вала с насаженными на него двух шестерен

Рассмотрим расчет вала, схема которого показана на рис. 4.5,а, а конструкция – на рис. 4.5,б.

Рис. 4.5

Исходные данные:

F_1X = 12,3 кН, F_1Y = 4,47 кН – силы в зацеплении прямозубой шестерни 1 , соответственно окружная и радиальная;

F_2X = 6,15 кН, F_2X = 2,28 кН, F_2Z = 1,08 кН –силы в зацеплении косозубой шестерни 2, соответственно окружная , радиальная и осевая;

l₁ = 100 мм, l₂ = 165 мм – линейные размеры;

R₁ = 100 мм, R₂ = 200 мм – радиусы начальных окружностей;

Сталь 45 – материал валика.

Вал вращается в подшипниках А и В и работает в области многоцикловой усталости (N₀ > 10⁷ циклов) в установившемся режиме.

Необходимо:

1) построить эпюры изгибающих моментов М_Х, М_У;

2) построить эпюру суммарных изгибающих моментов М_И;

3) построить эпюру крутящих моментов Т_К;

4) построить эпюру эквивалентных изгибающих моментов М_ЭКВ, рассчитанных по гипотезе прочности максимальных касательных напряжений;

5) подобрать диаметры вала из условия статической прочности;

6) назначить геометрические размеры;

7) выполнить проверочный расчет вала на усталостную прочность.

4.4.1. Проектировочный расчет вала на статическую прочность (вопросы 1 -5)

Построение эпюр изгибающих моментов М_Х, М_У. Составим расчетную схему вала в виде двухопорной балки, представленной на рис. 4.6, а. После переноса на вал всех сил, действующих на шестерни, появляются два скручивающих момента в сечениях Д и С.

Т₁ = F_1X ·R₁= 12,3·01 = 1,23 кНм;

Т₂ = F_2X·R₂ = 6,15·0,2 = 1,23 кНм,

и изгибающий момент в сечении С:

M = F_2Z·R₂ = 1,08·0,2 = 0,216 кНм.

Опору А выбираем шарнирно – подвижной, а опору В - шарнирно – неподвижной. Из рис. 4.6, а следует, что вал работает на совместное действие сжатия, кручения и изгиба в вертикальной (Z0Y) и горизонтальной (Z0X) плоскостях. Влиянием сжатия и поперечных сил на нагруженность вала пренебрегаем. Кручение и изгиб рассмотрим отдельно, используя принцип независимости сил.

Изгиб в вертикальной плоскости Z0Y (рис.4.6,б).

Определим реакции опор Y_A и Y_B из уравнений равновесия:

= 0; - F_1Y ·0,43 + Y_A ·0,33 – F_2Y · 0,165 + M = 0,

откуда = 6.31 кН,

∑М_А = 0; - Y_B ·0,33 + M – F_2Y ·0,165 = 0,

откуда Y_B = = 0,44 кН.

Проверка:∑Y =- F_1Y + Y_A – F_2Y + Y_B = - 4,47+ 6,31- 2,28 + 0,44 = 0.

Найдем изгибающие моменты М_Х в характерных сечениях вала (в сечениях А, С, D и В).

М_Х(А) = - F_1Y ·0,1 = - 4,47 ·0,1 = - 0,447 кНм;

М_Х(С)_ЛЕВ = - F_1Y · 0,265 +Y_A · 0,165= - 4,47 ·0,265 +

+ 6,31· 0,165 = - 0,143 кНм.

М_Х(С)_ПРАВ = Y_B · 0,165 = 0,44 · 0,165 = 0,073 кНм;

M_X(D) = M_X(B) = 0.

По полученным значениям строим эпюру М_Х (рис.4.6, в).

Аналогично рассматриваем изгиб вала в горизонтальной плоскости Z0X (рис.4.6, г).

Определение суммарных изгибающих моментов М_И и построение их эпюры. Так как вал имеет круглое поперечное сечение, то изгибающие моменты М_Х и М_У можно свести к суммарному изгибающему моменту М_И :

.

В сечениях А, С, D и В значения М_И будут соответственно равны:

= 1,31 кНм;

= 1,13 кНм;

= 1,122 кНм;

М_И(D) = М_И(В) = 0.

По полученным данным построим эпюру суммарных изгибающих моментов М_И (рис. 4.6, е). На участке АС эпюра имеет нелинейный характер (пунктирная кривая выпуклостью вниз). Для упрощения вычислений эпюру на этом участке принимают линейной (сплошная линия). При этом погрешность идет в сторону увеличения запаса прочности.

Построение эпюры крутящих моментов Т_К (рис. 4.6, ж). Два скручивающих момента Т₁ и Т₂ (см. рис. 4.6, а) вызывают кручение на участке АС крутящим моментом.

Т_К = Т₁ = Т₂ = 1,23 кНм.

Построение эпюры эквивалентных изгибающих моментов М_ЭКВ (рис. 4.6, з). Для бруса круглого поперечного сечения эквивалентные изгибающие моменты по теории прочности максимальных касательных напряжений подсчитывают по следующей формуле:

.

Найдем значения М_ЭКВ в характерных сечениях вала:

= 1,23 кНм;

= 1,79 кНм;

= 1,67 кНм;

= 1,122 кНм.

Участки эпюры, соответствующие интервалам вала DA и АС, нелинейны (пунктирные кривые с выпуклостью вниз). Как и в случае с эпюрой М_И, эти участки принимаем линейными (сплошные линии), а погрешность ведет к увеличению запаса прочности.

Подбор диаметров вала D₁ и D₂ (см. рис. 4.5, б) из условия статической прочности. Из эпюры М_ЭКВ видно, что наибольшие значения эквивалентного изгибающего момента соответствуют сечениям А и С. Минимально допустимое значение диаметра вала в сечении А:

Рис. 4.6

= 0,0645 м.

Здесь [ ] – допускаемое напряжение для вала, которое принято равным 70 МПа (табл. П.1, см. приложение). При этом учитывалось, что изменение напряжений во вращающемся вале происходит по симметричному циклу, а материал – углеродистая сталь марки 45 ( =900 МПа, см. табл. П2).

Аналогично найдем минимально допустимое значение диаметра вала в сечении С.

= 0,0625 м.

Округлив полученное значение в миллиметрах D₁ до ближайшего большего числа, оканчивающегося на 0 или 5, получим D₁ = 65 мм – диаметр сечений ступеней вала под подшипники.

Так как D₂ < D₁ , то диаметр сечения ступени вала под шестерню 2 в соответствии с рекомендацией (см. п. 4.2) принимаем равным

D₂ = D₁ + 5 = 65 + 5 = 70 мм.