6.Вопрос

6. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Раскрытие неопределенностей, правило Лопиталя.

Теоремы Ролля :Если вещественная функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Теорема Лагранжа : Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b] и внутри него имеет производную f ' (x), то найдется хотя бы одно такое значение x₀ (a < x₀ < b), что

f(b) - f(a) = (b - a)f '(x).

Теорема Коши : Пусть функции y = f(x), y = g(x) непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g ' (x) ≠ 0 на (a, b).

Тогда существует число c (a,b) такое, что

Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

1. Неопределенность вида 0/0. Первое правило Лопиталя .

Если = 0, то , когда последний существует.

2. Неопределенность вида ¥ / ¥ . Второе правило Лопиталя .

Если = ¥ , то , когда последний существует.

3. Неопределенности вида 0 × ¥ , ¥ - ¥ , 1 ^¥ и 0 ⁰ сводятся к неопределенностям 0/0 и ¥ / ¥ путем алгебраических преобразований.

7.Вопрос

7. Условие возрастания и убывания функций. Точки экстремума. Достаточные признаки максимума и минимума.

Достаточное условие возрастания и убывания функции.

Теорема. 1) Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a, b], возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке [a, b] не отрицательна, т. e. f' (x) ≥ 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и диффе­ренцируема в промежутке (a, b), причём f' (x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [а, b].

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

8.Вопрос

Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции

Функция  принимает наибольшее (наименьшее) значение на отрезке   в точке  .

Непрерывная функция принимает наибольшее (наименьшее) значение либо на концах интервала, либо в стационарных точках, либо в точках, где производная не существует.

9.Вопрос

Исследование на максимум и минимум с помощью производных высших порядков.

Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если можно

найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой

окрестности выполняется условие:

f(x) > f(x0).

Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если можно

найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой

окрестности выполняется условие:

f(x) < f(x0).

Точки максимума и минимума функции называются точками

экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если

функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой

экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Точки, где f (x)  0 называются стационарными точками, или

точками возможного экстремума.

Отсюда следует, что точки экстремума функции следует искать среди

тех точек её области определения, где производная функции равна нулю или

не существует.

Точки области определения функции, в которых производная либо

равна нулю, либо не существует, называются критическими.