4.Вопрос

4. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Г еометрический смысл дифференциала

На графике функции возьмем произвольную точку и дадим аргументу приращение . При этом функция получит приращение (на рисунке отрезок ).

Проведем касательную к кривой в точке и обозначим угол ее наклона к оси через , тогда . Из треугольника находим , т.е. .

Таким образом, дифференциал функции численно равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда аргумент получает приращение .

Инвариантность формы дифференциала

Формула дифференциала функции имеет вид

,

где - дифференциал независимой переменной.

Пусть теперь дана сложная (дифференцируемая) функция , где , . Тогда по формуле производной сложной функции находим

,

так как .

Итак, , т.е. формула дифференциала имеет один и тот же вид для независимой переменной и для промежуточного аргумента , представляющего собой дифференцируемую функцию от .

Это свойство принято называть свойством инвариантности формулы или формы дифференциала

5.Вопрос

5. Производная и дифференциал высших порядков. Параметрически заданные функции и их дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной неявно.

Производные и дифференциалы высших порядков

Опр-ие: производной n-го порядка (n2) функции у=f(х) называется производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка.

Найдя 1-ю производную можно определить 2-ю производную по тем же формулам, по которым определяли первую.

Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dⁿy)По определению dⁿy= d(d^n-1y). Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, dⁿy=f⁽ⁿ⁾(х)dxⁿ, в предположении, что n-ая производная f⁽ⁿ⁾(х) сущ-ет, поэтому понятно, что n-e

Параметрически заданные функции и их дифференцирование

Зависимость функции y от аргумента x может осуществляться через посредство третьей переменной t, называемой параметром: . В этом случае говорят, что функция y от x задана параметрически. Параметрическое задание функции удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций. Предположим, что на некотором промежутке функции x=φ(t) и y=ψ(t) имеют производные, причем φ’(t)≠0. Кроме того, для x=φ(t) существует обратная функция x^-1 = t(x) (производная обратной функции равна обратной величине производной прямой функции). Тогда y(x)=ψ(t(x)) – сложная функция и ее производная: . Производную тоже запишем в параметрической форме: