5. Вывод скорости относительной линейной деформации

Конвективное ускорение, определяемое соотношениями (1.8), содержит компоненты скорости и их производные по одноименным (дu/дx, дv/дy, дw/дz) и разноименным (дu/дy, дu/дz, дv/дx, дv/дz, дw/дx, дw/дy) координатам. Выясним физический смысл этих производных. Рассмотрим жидкий элемент АВ (рис. 1.3) длиной dx, движущийся вдоль оси х.

Если скорость в точке А равна u_А, то в точке В имеем u_B=u_А+(дu_А/дx)dx. При этом за время dt произойдет не только смещение выделенного элемента вдоль оси x, но и его линейная деформация. Эта деформация равна Δdx=ВВ'—АА'=(дu/дх)dхdt. Аналогично получим абсолютные линейные деформации вдоль осей у и z. Выражения (дu/дх)dt, (дv/дy)dt и (дw/дz)dt определяют относительные линейные деформации. Разделив их на dt, получим скорости относительных линейных деформаций

Рис. 1.3. К выводу скорости относительной линейной деформации

Таким образом, частные производные от составляющих скорости по одноименным координатам определяют скорости относительных линейных деформаций жидкого элемента вдоль координатных осей.

6.Вывод скорости угловой деформации

Жидкий элемент, ориентированный вдоль оси х, при движении в направлении оси у (рис. 1.4) за время dt из положения АВ переместится в положение А'В', претерпев угловую деформацию, равную

(1.10)

или dγ/dt=дv/дх. Следовательно, производные от составляющих скорости по разноименным координатам определяют скорости угловой деформации жидкого элемента.

Рис. 1.4. К выводу скорости угловой деформации

Рассматривая движение реальной жидкости, часто можно наблюдать области, где имеет место ее интенсивное вращение, напоминающее вращение твердого тела. Однако если частицы твердого тела при вращении не меняют относительного расположения, то в жидкости одновременно с вращением происходит деформация сдвига или скашивания частицы. Попытаемся разделить указанные составляющие движения (вращение и деформацию сдвига). Дли этого спроектируем на плоскость хоz элементарный жидкий параллелепипед (рис. 1.5). При перемещении его из положения / в положение // углы не сохраняются прямыми, и в новом положении проекция исходного параллелепипеда будет А'В'С‘D'. Углы dγ₁ и dγ₂ согласно соотношению (1.10) связаны с проекциями скорости u и w следующим образом:

(1.11)

Рис. 1.5. Движение жидкого элемента в обще общем случае.

Деформация углов исходного параллелепипеда происходит в результате сложения поворота dα и деформации скашивания или сдвига dβ. Если предположить, что деформация скашивания по всем граням одинакова и характеризуется углом dβ, то

(1.12)

При выборе знаков будем считать угол положительным, когда он отсчитывается в направлении круговой перестановки индексов координатных осей. Если углы отсчитываются в направлении от оси z к оси х, от оси х к оси у и от y к z, то этим углам будем приписывать положительный знак. При отсчете углов в обратном направлении их значения будут иметь отрицательный знак. Складывая и вычитая последовательно уравнения (1.12), найдем значение угла dα, характеризующего вращение, и угла dβ, характеризующего деформацию сдвига:

(1.13)

Используя (1.11) и деля (1.13) на dt, получаем составляющие скорости углового поворота (угловая скорость вращения ω_y) и скорости деформации сдвига или скашивания (δ_y):

(1.14)

Аналогичные рассуждения применительно к проекциям исходного параллелепипеда на остальные координатные плоскости дают возможность определить все составляющие вектора угловой скорости со и вектора деформации

Составляющие рассматриваемых векторов определяются по формулам

(1.15)

Индексы указывают координатную ось, перпендикулярно которой расположена плоскость проекции исходного параллелепипеда, или ось, вокруг которой рассматривается поворот (вращение) жидкой частицы. Используя уравнения (1.15), легко найти скорости скашивания прямых углов (суммарную скорость угловой деформации) в плоскостях ху; уz; zх. Обозначим эти скорости γ_xy=2δ_z; γ_yz=2δ_x; γ_zx=2δ_y.

Выделим далее в жидкости элементарный жидкий объем в форме параллелепипеда и рассмотрим ого деформцию за время dt. Если в начальный момент времени параллелепипед занимал некоторое положение /, то через промежуток времени dt произойдет его смещение в положение //. При этом вследствие линейной деформации ребер изменится его первоначальный объем. Изменением длины ребер, обусловленным их угловой деформацией, можно пренебречь.

Найдем изменение первоначального объема dV₁=dxdydz при смещении его из положения / в положе­ние //, имея в виду линейную деформацию ребер, определяемую выражениями (1.9):

Перемножив выражение в скобках и отбросив малые высших по сравнению с dV порядков, получим

Относительное изменение первоначального объема за время dt

Отсюда скорость относительного изменения жидкого объема (скорость объемной деформации) в точке

(1.16)

Полученное соотношение в векторном исчислении называют дивергенцией вектора скорости с и обозначают div с. Следовательно,

(1.17)