5. Теплопроводность при стационарном режиме: Для многослойной плоской стенки.

и при условии что , или

Определив температурные напоры из этого уравнения в каждом слое и сложив правые и левые части полученных уравнений будем иметь

температуры на границах соприкосновения равны:

6. Теплопроводность при стационарном режиме: Цилиндрическая стенка (однослойная).

и при условии что , или .

Дифференциальное уравнение будет

Ось OZ совмещена с осью трубы. Температура изменяется только в радиальном направлении и уравнение будет:

и

Кроме того, т. к. температуры на наружной поверхности и внутренне неизменны, то изотермические поверхности являются цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось и тогда:

Уравнение примет вид:

Граничные условия: при

при

Введём новую переменную , тогда ; , отсюда . Интегрируя, получаем: .

Потенцируя и переходя к первоначальным переменным, получим: .

После интегрирования получим

Используя граничные условия получаем: ;

;

Подставив и получим:

- это уравнение логарифмической кривой.

Используя закон Фурье определяем количество теплоты, проходящее через поверхность

Тепловой поток может быть отнесён либо к единице длины

, либо к единице внутренней или внешней поверхности

; .

8. Критический диаметр цилиндрической стенки

Рассмотрим влияние d_нар на термическое сопротивление однородной цилиндрической стенки.

(1)

При постоянных α₁,d₁,λ и α₂ R_l будет зависеть от d₂. Из (1) следует что при этих условиях

с увеличением d₂ будет возрастать, а – будет уменьшаться.

Очевидно, что R_l будет определятся характером изменения составляющих R_lc и R_l2.

Для выяснения изменения при изменении толщины цилиндрической стенки

(d₂ увеличивается) исследуем как функцию d₂. Возьмем производную от R_l по d₂ и приравняем к нулю.

Значение d₂ соответствует экстремальной точке кривой .

Исследовав кривую любым способом на max и min, увидим, что в экстремальной точке имеет место минимум. Т.о., при значении диаметра термическое сопротивление будет минимальным.

Значение d₂, соответствующее минимальному полному термическому сопротивлению теплопередачи, называется критическим диаметром и обозначается d_кр.

При d_кр < d₂ с увеличением d₂, R_l снижается, так как увеличение наружной поверхности оказывает на R_l большее влияние, чем увеличение толщины стенки.

При d_кр > d₂ с увеличением d₂, R_l возрастает, так как здесь имеет место доминирующее влияние толщины стенки.

Это необходимо учитывать при выборе тепловой изоляции труб и цилиндров аппаратов.

Рассмотрим d_кр изоляции, наложенной на трубу.

Из уравнения следует , что q_l при увеличении d₃ сначала будет возрастать и при d₃ = d_кр будет иметь max q_l. При дальнейшем увеличении внешнего диаметра d₃ изоляции q_l будет снижаться. Выбрав какой – либо теплоизоляционный материал прежде всего нужно рассчитать d_кр для заданных λ_из и α₂.

Если окажется, что величина d_кр > d₂, то применение выбранного материала в качестве изоляции нецелесообразно. В области d₂< d₃< d_кр.из. при увеличении толщины изоляции будет наблюдаться увеличение теплопотерь.

Только при d₃ = d_{3 эф} тепловые потери вновь станут такими же, как для первоначального, неизолированного трубопровода. Следовательно, некоторый слой тепловой изоляции не будет оправдывать своего назначения.

Следовательно, для эффективной работы тепловой изоляции необходимо, чтобы d_кр.щ. ≤ d₂.

Пример. Трубу внешним диаметром необходимо покрыть изоляцией асбест с λ=0,1 Вт/кг·К; α₂=5 Вт/м²·К; Целесообразно ли в данном случае использовать асбест в качестве тепловой изоляции.

1). Критический диаметр изоляции

Т.к. d₂ < d_{кр. из} – асбест использовать нецелесообразно.