1.Теплопроводность. Закон Фурье
Теплопроводность - молекулярный перенос теплоты в телах (или между ними), обусловленный переменностью температуры в рассматриваемом пространстве.
Явление теплопроводности представляет собой процесс распространения тепловой энергии при непосредственном соприкосновении отдельных частиц тела или отдельных тел, имеющих различные температуры.
Перенос энергии в газах – путем диффузии молекул и атомов.
В жидкостях и твердых телах - диэлектриках путем упругих волн.
В металле – путем диффузии свободных электронов.
Роль упругих колебаний решетки здесь второстепенно.
Процесс теплопроводности, как и другие виды т/о может иметь место только при условии, что в различных точках тела ( или системы тел) температура не одинакова. В общем случае процесс передачи теплоты теплопроводностью в твердом теле сопровождается изменением температуры, как в пространстве, так и во времени.
Аналитические исследования теплопроводности сводятся к нахождению уравнения.
t =f(x, y, z, r ) – температурное поле - совокупность значений температуры во всех точках изучаемого пространства для каждого момента времени.
Различают стационарное и нестационарное:
Если t
= f
(x
,y
,r),
- двухмерное
t
= f
(y,
r
)
- одномерное
Геометрическое место точек в температурном поле, имеющих одинаковую температуру называется изотермической поверхностью.
Изотермические поверхности не пересекаются.
Пересечение изотермических поверхностей плоскостью дает на этой плоскости семейство изотерм.
Наибольший перепад температуры на единицу длины происходит в направлении нормали к изотермической поверхности. Возрастание температуры в направление нормали к изотермической поверхности характеризуется градиентом температуры.
Градиент температуры - это вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности, в сторону возрастания температуры и численно равный производной от температуры по этому направлению.
- единичный вектор
нормальный к изотермической поверхности
и направленный в сторону возрастания
температуры.
Величина
в направлении убывания температуры
отрицательная.
;
;
;
Согласно гипотезе
Фурье, количество теплоты, Дж проходящее
через элемент изотермической поверхности
dF
за промежуток времени d
пропорционально dt/dn. 
λ - характеризует способность вещества проводить теплоту и называется коэффициентом теплопроводности.
Количество теплоты,
проходящее в единицу времени через
единичную поверхность есть плотность
теплового потока:
;
Его положительное
направление совпадает с направлением
убывания температуры. Т.о. векторы
и
gradt
лежат на одной прямой, но направлены в
противоположные стороны. Это и объясняет
наличие знака «минус» в правой части
уравнения.
2. Дифференциальное уравнение теплопроводности.
При решении задач, связанных с нахождением температурного поля необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности.
Следующие допущения:
- тело однородно и изотропно;
- физические параметры постоянны;
- деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, является малой величиной по сравнению с самим объемом;
- внутренние
источники теплоты в теле
распределены равномерно;
В основу вывода положен закон сохранения энергии, который может быть сформулирован следующим образом:
количество теплоты
dQ,
введенное в элементарный объем из вне
за время
вследствие теплопроводности, а также
от внутренних источников равна изменению
внутренней энергии или энтальпии
вещества ( в зависимости от рассматриваемого
изохорного или изобарного процессов)
содержащегося в элементарном объеме:
-изменение U
или I
(1)
- количество
теплоты, которое подводится к граням
за время (
)
-
количество теплоты, которое отводится
через противоположные грани.
-
проекция плотности теплового потока
на направление нормали к граням dy,
dz.
Разность подведенной
и отведенной
(2)
является
непрерывной в рассматриваемом интервале
и может быть разложена в ряд Тейлора:
Если ограничится двумя членами ряда, то (2) запишем
Аналогично для
и
Количество теплоты, подведенное теплопроводностью к рассматриваемому объему будет:
(3)
Обозначим
- мощность внутреннего источника
теплоты,
в
единицу времени.
Третья составляющая в уравнении (1) найдется в зависимости от характера термодинамического процесса изменения системы.
В случае рассмотрения изохорного процесса вся теплота, подведенная к объему, уйдет на изменение внутренней энергии вещества, то есть dQ = dU
Если рассматривать
U=U(t,
)
то
(5)
-изохорная
теплоемкость единицы массы (Дж/кг.К)
Подставляя
(3),(4),(5) в (1) получим дифф. уравнение
теплопроводности для изохорного процесса
переноса теплоты:
Это ДУ тепловодности для изохорического подвода теплоты
При рассмотрении изобарного процесса вся теплота идет на изменение I
Если
, то
или после подстановки
В твердых телах перенос теплоты осуществляется по закону Фурье
,
разность
и
мала и
Подставляя, получим:
д.у. теплопроводности устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры.
Если принять теплофизические характеристики постоянными, то
и
-
оператор Лапласа в декартовой системе
координат
В цилиндрических координатах
r-
радиус вектор; полный угол;
-
аппликата
В общем виде дифференциальное уравнение теплопроводности запишется:
a- характеризует скорость изменения температуры и является мерой теплоинерционных свойств тела
будет
тем больше, чем больше a.
Если система не содержит внутренний источник , то
При стационарном
режиме:
и дифференциальное уравнение
теплопроводности превращается в
уравнение Пуассона:
И если =0 то будет уравнение Лапласа:
