2.5. Метод точечного преобразования
Метод точечного преобразования является усовершенствованным методом припасовывания с привлечением геометрического аппарата фазовой плоскости и применяется в основном для анализа свободных режимов в системах второго порядка.
Пусть система
описывается уравнениями (2.11), а уравнения
для фазовых траекторий будут (2.13). На
фазовой плоскости нарисуем отрезок
линии
,
как показано на рис. 2.12, который
пересекается фазовыми траекториями в
одном направлении. Пусть
– начальная точка пересечения фазовой
траекторией этого отрезка, а
– последующая
при движении по данной фазовой траектории.
Обозначим через
и
соответствующие расстояния точек
и
до точки 0 (начала координат). Точка
называется последующей
по отношению к исходной
(предыдущей)
точке
.
Зависимость
(2.36)
будем называть функцией последования, которая определяет закон точечного преобразования вдоль отрезка .
Так как фазовые траектории всюду плотно заполняют фазовое пространство, то исходные и последующие точки всюду плотно заполняют отрезок .
Рис. 2.12
По виду функции последования можно качественно судить о поведении фазовых траекторий и виде фазового портрета, а в ряде случаев и определить количественные характеристики процессов в системе.
В соответствии,
например, с рис. 2.12 можно сделать ряд
следующих выводов. Если величина
,
то фазовые траектории приближаются к
началу координат. Если
,
то все фазовые траектории удаляются от
начала координат. Если в процессе
точечного преобразования
,
то на фазовой плоскости существует
замкнутая кривая, соответствующая
предельному циклу.
Рис. 2.13
Исследование
поведения системы с помощью точечного
преобразования удобно проводить,
используя график функции
.
На рис. 2.13
изображен график функции
и через начало координат проведена
прямая, совпадающая с биссектрисой
первого квадранта плоскости
.
Ход точечного
преобразования следующий. Выбираем
исходную точку на оси
− точку
,
для нее находим координату последующей
точки на кривой
.
Далее используем найденную последующую,
принимаем ее за исходную и находим опять
последующую. Ход точечного преобразования
из точки
показан стрелками. Итак, по ходу стрелок
видно, что мы приближаемся к точке
,
в которой
.
Для исходной точки
картина точечного преобразования
повторяется. Таким образом, в точке
существует устойчивый предельный цикл
(автоколебания). Обратная картина будет
относительно точки
,
где есть предельный цикл, но он неустойчив.
Графики, подобные приведенному на рис. 2.13, называются диаграммами точечного преобразования.
Определение функции
часто трудоемкая задача. Проще эту
функцию задать в параметрической форме,
когда
и
зависят от некоторого параметра. В
качестве такого параметра выбирают
величину
− время прохождения из точки
в последующую точку
по ходу фазовой траектории. Итак, находят
уравнения
,
, (2.37)
которые являются
параметрической формой задания
зависимости
.
Рис. 2.14
На рис. 2.14
приведен пример точечного преобразования
при параметрической форме задания
кривых (2.37). Точка с координатами
,
соответствует наличию устойчивого
предельного цикла (автоколебаний). При
этом величина
− период
автоколебаний. Конкретные примеры
применения точечного преобразования
можно найти в [6, 7].