2.3.3. Построение фазовых траекторий

Аналитическое выражение для фазовой траектории является решением нелинейных дифференциальных уравнений (2.13), (2.14) и найти его в общем случае невозможно. Однако если представить реальные нелинейные характеристики в виде идеальных, т.е. аппроксимированных на отдельных участках прямыми линиями, то возможно применение аналитических методов решения. Суть такого подхода заключается в следующем. Пусть идеальная нелинейность на некотором интервале описывается линейной характеристикой , где  – заданные коэффициенты. В этом случае уравнение (2.13) для фазовых траекторий будет иметь вид

, (2.18)

где , , , , , .

Уравнение (2.18) является частным случаем уравнения Якоби и может быть проинтегрировано, т.е. задавая начальные значения , можно найти вид фазовой траектории при условии, что .

Таким образом, разбивая всю ось на ряд интервалов и аппроксимируя нелинейность линейной зависимостью на каждом интервале, получим свое уравнение (2.18), решение которого даст на этом интервале некоторою фазовую траекторию. Линии, соответствующие равенствам на плоскости , разделят ее на ряд областей. Эти линии, границы областей, будем называть линиями переключения.

При попадании изображающей точки фазовой траектории на линию переключения, конечное значение этой фазовой траектории, т.е. значения координат и на ее конце, принимаются за начальные условия для фазовой траектории в смежной области. Такой метод решения дифференциального уравнения называют методом сшивания, склеивания или припасовывания решений.

Другой способ построения фазовых траекторий – это метод изоклин, который является графическим методом. В уравнении для фазовых траекторий (2.13) правая часть в каждой точке фазовой плоскости с координатами , определяет скорость движения изображающей точки, т.е. определяет угол наклона касательной к фазовой траектории в этой точке. Уравнение

, (2.19)

где произвольное число, определяет линию на фазовой плоскости равных значений производных или углов наклона касательной. Эту линию и называют изоклиной.

Изобразив на фазовой плоскости несколько изоклин с соответствующими направлениями касательных, можно приближенно представить вид фазовых траекторий и вид фазового портрета.

Наконец, возможно построение фазового портрета путем моделирования уравнений фазовых траекторий и их решения на компьютере.

2.3.4. Скользящие режимы в нелинейных системах

Рассмотрим нелинейную САУ [7], изображенную на рис. 2.7, где  – модель идеального реле: при , при .

Рис. 2.7

В соответствии с рис. 2.7 уравнение системы будет

.

Вводя новые переменные , , получим систему уравнений

из которой находим уравнения для фазовых траекторий

. (2.20)

Уравнение линии переключения получим из условия , т.е.

. (2.21)

В области фазовой плоскости при уравнение (2.20) имеет вид

, (2.22)

а там где , уравнение (2.20) будет

. (2.23)

Решения уравнений (2.22), (2.23) соответственно имеют вид:

, (2.24)

, (2.25)

где , произвольные постоянные, которые определяются начальными условиями , .

Уравнения (2.24), (2.25) на фазовой плоскости определяют параболы. Уравнение (2.24) справедливо справа от линии переключения (2.21), а (2.25) – слева.

На рис. 2.8 изображен фазовый портрет нелинейной системы, из которого следует, что на линии переключения существует отрезок АВ, на котором все фазовые траектории с двух сторон входят в этот отрезок. Изображающая точка, попав на этот отрезок, далее с течением времени обязана двигаться по нему к началу координат (положению равновесия). Такой режим называется скользящим режимом, а отрезок АВ отрезком скольжения. На рис. 2.8 начальная точка переходит по фазовым траекториям в точку , затем в (попадает на отрезок скольжения) и далее по линии переключения обязана двигаться к началу координат, т.е. в системе возникает режим скольжения.

Рис. 2.8

Найдем координаты точек А, В, т.е. длину отрезка скольжения. В точке А касательная к параболе должна совпадать с линией переключения, т.е. . Тогда с учетом (2.22) будем иметь , т.е. ордината точки А будет .

Аналогично, ордината точки В будет . Таким образом, длина отрезка АВ будет тем больше, чем больше или .

Найдем закон движения в скользящем режиме. На линии переключения (2.21) , но , откуда имеет место следующее уравнение

, (2.26)

определяющее закон движения в скользящем режиме. Решение уравнения (2.26) имеет вид .

Таким образом, на линии скольжения исходная нелинейная система второго порядка вырождается в линейную систему первого порядка (2.26), причем параметры процесса скольжения не зависят от параметров прямой цепи . Меняя , можно менять время попадания изображающей точки в начало координат, т.е. фактически время регулирования. Чем меньше величина , тем меньше время регулирования.