4.2.4. Системы управления с нечёткой логикой

Рассмотрим особенности систем управления с нечёткой логикой [8, 9]. Системы с нечёткой логикой (Fussy-Logic) создают для управления сложными трудно формализуемыми и слабо структурированными процессами. При этом используется опыт специалистов-экспертов.

К основным понятиям фаззи-логики относятся нечёткое множество и лингвистическая переменная.

Под нечётким множеством понимают подмножество множества , которое определяется непрерывной функцией принадлежности могущей принимать значения от 0 до 1. Нечеткое множество может задаваться так:

. (4.2)

Лингвистическая переменная – это переменная, которая задаётся нечёткими словами или предложениями. Отдельное лингвистическое значение (терм) определяется одной функцией принадлежности. Для описания лингвистических переменных в ТАУ может применяться набор до семи термов, созданных словами: отрицательный (negative), нулевой (zero), положительный (positive), большой (big), средний (middle), малый (small), изображённых треугольными и трапецеидальными функциями принадлежности на рис. 4.4.

Рис. 4.4

Минимальный набор термов – три: N, ZE, P, но при этом осуществляется грубая декомпозиция входного пространства на подмножества.

Процедуру определения значения функции принадлежности , соответствующего конкретному значению переменной , называют фаззификацией. Другими словами: под фаззификацией понимают преобразование чётких значений переменных в нечёткие.

Операции с нечёткими множествами используют известные в алгебре чёткой логики операции «И», «ИЛИ», «НЕ» с той разницей, что вместо истинности переменных (0 и 1) применяют функции принадлежности.

Операция конъюнкция («И») осуществляется с помощью минимизации:

(4.3)

где нечёткое множество называется фаззи-пересечением нечётких множеств и :

. (4.4)

Операция дизъюнкции («ИЛИ») осуществляется с помощью максимизации:

, (4.5)

где нечётное множество  фаззи-объединение нечётких множеств и :

. (4.6)

На рис. 4.5, а показана функция принадлежности фаззи-пересечения множеств ZE и P, а на рис. 4.5, б – функция принадлежности фаззи-объединения этих множеств.

Рис. 4.5

Важнейшей операцией фаззи-логики является операция нечёткого вывода. Она основана на ряде композиционных операторов. Рассмотрим операцию импликации (связывания). Она заключается в соединении двух нечётких множеств и по правилу «ЕСЛИ ТО », причём множества (посылка) и (заключение) определены на разных базисных множествах и .

Множество, соответствующее правилу «ЕСЛИ ТО », образуется из пар , относящихся к новому базисному множеству

. (4.7)

Связь между множествами и устанавливается с помощью отношения

, (4.8)

где  функция принадлежности пар из декартова произведения к подмножеству, образованному по определённому правилу .

Функцию принадлежности можно определить с помощью операции минимизации:

. (4.9)

Функцию принадлежности при конкретном значении можно определить двумя способами:

, (4.10)

. (4.11)

Рис. 4.6 иллюстрирует эти случаи: трапеция 1 соответствует формуле (4.10), а треугольник 2-формуле (4.11).

Рис. 4.6

Нечёткое множество может представлять также пересечение или объединение нескольких множеств.

Рассмотри следующую операцию  агрегирование, т.е. композицию нескольких правил «ЕСЛИ ТО », связанных через «ИЛИ». Оно осуществляется максимизацией функций принадлежности всех объединённых правил.

Результирующая функция принадлежности нечёткого множества величины при .

, (4.12)

где - номер правила; - функция принадлежности заключения -го правила, ограниченная значением (рис. 4.6); и  функции принадлежности соответственно посылки и заключения -го правила.

Для определения конкретных значений по полученной результирующей функции принадлежности (4.12) проводится дефаззификация. Дефаззификация преобразует нечёткие величины в чёткие. В настоящее время при дефаззификации чаще всего используют два метода: метод центра тяжести и метод максимума [9].

В первом случае чёткое значение выходной переменной

, (4.13)

а для дискретных пространств

. (4.14)

Во втором случае (метод максимума)

, (4.15)

где   выходная переменная, для которой функция принадлежности достигла максимума, а  число таких величин.

Из этих двух методов первый даёт приемлемые результаты для установившихся режимов, а второй  для переходных режимов [9].

Простейшие примеры реализации основных процедур фаззи-логики применительно к нечётким системам управления приведены в [8, 9].

В настоящее время в теории систем управления развиваются и другие подходы. Среди них выделяются теории катастроф и детерминированного хаоса.

Теория катастроф основана на объединении теории гладких отображений и теории устойчивости и бифуркаций динамических систем. Теория катастроф изучает зависимость качественного характера решения уравнений от значений параметров этих уравнений. Применительно к САУ на основании теории катастроф можно исследовать, например, потерю устойчивости при постепенном изменении какого-либо параметра, когда возникают бифуркации. Такой пример с исследованием летательного аппарата приводится в [9].

В нелинейных системах возможен режим хаотической динамики, когда траектории систем сильно зависят от начальных условий. Такие режимы возможны в механических системах с зазорами, трением скольжения, нелинейными обратными связями. Основами теории хаоса является так называемое логистическое уравнение и странный аттрактор (внутри которых нельзя предугадать поведение траекторий на длительный интервал). Изучение таких режимов позволяет глубже понять процессы в НСАУ и научно обосновать законы управления ими.

Для глубокого изучения методов современной теории автоматического управления могут быть использованы упомянутые книги.