3.3. Расчёт точности системы при случайных воздействиях

Рассмотрим расчёт среднеквадратичной ошибки на примере системы, структурная схема которой имеет вид, изображённый на рис. 3.4.

Рис. 3.4

Пусть на вход системы поступают регулярный сигнал и помеха типа “белый шум” со спектральной плотностью . Параметры передаточной функции: 1/с, с.

Необходимо определить среднеквадратичную ошибку. Средний квадрат ошибки , где - квадрат регулярной составляющей ошибки, а   средний квадрат случайной составляющей ошибки.

Составляющая находится по известной формуле: .

Коэффициенты ошибок определяются при разложении в ряд Маклорена передаточной функции системы по ошибке . В нашем случае .

Так как , то надо вычислить лишь первую производную .

Следовательно . При учёте численных значений , а .

Определим среднее значение квадрата случайной составляющей . Как показано в

. (3.18)

Для преодоления трудностей при вычислении интеграла (3.18), его представляют в виде:

, (3.19)

где ; .

Формулы для вычисления интегралов по коэффициентам и для соответствующих значений сведены в таблицы. Приведём их для от 1 до 3 :

; ;

; ;

; .

В нашем случае ; ; . Коэффициенты: , , , , . Интеграл .

Среднеквадратичная ошибка . С учётом численных значений .

3.4. Особенности синтеза систем автоматического управления

При синтезе систем со случайными воздействиями решается задача определения динамических характеристик системы, наилучшим образом обеспечивающих выполнение определённого статистического критерия оптимальности. Наиболее часто применяется критерий минимума среднеквадратичной ошибки системы. В простейшем случае, когда на систему воздействуют некоррелированные стационарные полезный сигнал и помеха , среднее значение квадрата ошибки .

Графики зависимости составляющих ошибки от коэффициента передачи разомкнутой системы (рис. 3.3) могут иметь вид, изображенный на рис. 3.5 .

Рис. 3.5

Этот рисунок показывает, что ошибка системы по входному воздействию уменьшается с увеличением , но при этом расчёт ошибка от возмущения. Поэтому при одновременном воздействии на систему полезного сигнала и помехи необходимо находить оптимальное значение параметра, например , доставляющего ошибке минимальное значение .

При синтезе САУ возможны два вида задач: синтез при заданной структуре системы и синтез при произвольной структуре системы.

При решении первой задачи задаются структура системы, её передаточная функция, статистические характеристики полезного сигнала и помехи. Находятся оптимальные параметры регулятора (коэффициент передачи, постоянные времени), при которых обеспечивается минимум среднеквадратичной ошибки.

Задача решается так: находится средний квадрат ошибки , аналогично рассмотренному в подразделе 3.3; далее дифференцируют по интересующим параметрам и приравнивают нулю эти частные производные; решая систему из уравнений, находят оптимальные значения этих параметров.

Для рассмотренного примера ; ; ; ; .

В случае синтеза САУ при её произвольной структуре чаще всего рассматривают приложение воздействий к одной точке (рис. 3.6) .

Рис. 3.6

На этой схеме  передаточная функция эталонной модели,   искомая передаточная функция замкнутой системы, обеспечивающая минимум среднему значению квадрата суммарной ошибки :

.

При этом заданными считаются , статистические характеристики полезного сигнала и помехи .

Как показано в ,

, (3.20)

где и  соответственно спектральные плотности полезного сигнала и помехи.

Однако частотную передаточную функцию (3.19) практически реализовать невозможно [4]. Для реализации функции, близкой к оптимальной, разлагают на комплексные множители:

, (3.21)

где  функция, все нули и полюсы которой лежат в верхней полуплоскости комплексной переменной , а  функция, комплексно-сопряжённая с , все нули и полюсы которой лежат в нижней полуплоскости переменной . Эту операцию называют “факторизацией”.

Далее осуществляют операцию “расщепления”, т.е. разделение на реализуемые и нереализуемые части:

, (3.22)

где реализуемая часть обозначена знаком “+”, а нереализуемая  знаком “−”. К нереализуемой части относят члены, содержащие звенья, у которых есть правые полюсы.

Нереализуемую часть отбрасывают. Близкая к оптимальной реализуемая частотная передаточная функция системы

. (3.23)

Заменяя в (3.23) на , окончательно получают передаточную функцию замкнутой системы , из которой можно получить передаточную функцию разомкнутой системы и выбрать её элементы.