2.7.3. Абсолютная устойчивость
Рассмотрим понятие абсолютной устойчивости применительно к структуре нелинейной системы рис. 2.2.
Уравнения, описывающие поведение системы при имеют в соответствии с [8] вид
(2.72)
Будем полагать,
что
,
тогда уравнения имеют тривиальное
решение
,
,
,
т.е. в системе существует положение
равновесия, устойчивость которого будем
исследовать.
Если положение
равновесия системы (2.72) асимптотически
устойчиво в целом при любом виде функции
из заданного класса, то САУ называется
абсолютно
устойчивой
в этом классе.
Будем рассматривать
класс функций
,
удовлетворяющих секторным ограничениям,
т.е. с характеристикой
,
построенной на плоскости
,
которая полностью укладывается в угловом
секторе, образованном двумя прямыми
и
,
.
Итак, рассматривается класс нелинейных функций, удовлетворяющих условиям
для
,
. (2.73)
При этом вид функции
неизвестен, а нелинейность будет
относиться к классу
.
Возможны также дополнительные ограничения,
например, функция
должна быть непрерывной или другие.
Из класса (2.73)
выделяют два подкласса:
и
,
.
Анализ абсолютной устойчивости возможен с помощью функций Ляпунова, а также частотных критериев абсолютной устойчивости. Рассмотрим последние как наиболее практичные.
Круговой критерий устойчивости.
Для нелинейностей
из класса
достаточным условием абсолютной
устойчивости является выполнение
неравенства
, (2.74)
где
,
,
− АФЧХ
линейной части системы (рис. 2.2).
Неравенство (2.74) определяет область на комплексной плоскости, в которой должна лежать АФЧХ линейной части системы, чтобы нелинейная система была абсолютно устойчива.
Заменяя
в (2.74) знак неравенства на знак равенства,
получим границу этой области. Это будет
уравнение окружности с центром на
вещественной оси в точке
и проходящей через точки
и
на оси
.
Неравенство (2.74) требует, чтобы АФЧХ при
всех
располагалась вне круга, ограниченного
этой окружностью. На рис. 2.20 приведены
запретные области (заштрихованные) для
характеристики
и характеристики
.
Рис. 2.20
В [4] даются более
подробные случаи для разных классов
.
Вторым распространенным
частотным критерием является критерий
В.М. Попова.
Рассмотрим его формулировку для класса
нелинейных характеристик
:
система будет абсолютно устойчивой для
нелинейностей из класса
,
если через точку
можно провести прямую так, что она не
пересечет модифицированную частотную
характеристику (последняя лежит справа
от прямой).
В этом критерии
под модифицированной частотной
характеристикой понимается характеристика
,
где
,
.
Рис. 2.21, а
удовлетворяет критерию абсолютно
устойчивой системы, а рис. 2.21, б
при заданном
не удовлетворяет этому критерию.
Рис. 2.21
В заключение отметим, что все критерии абсолютной устойчивости, в том числе частотные, дают только лишь достаточные условия абсолютной устойчивости.
2.8. Коррекция нелинейных систем
При синтезе нелинейных систем кроме классической задачи коррекции САУ по точности, устойчивости, качеству решаются специфические задачи: подавление автоколебаний или организация колебаний с определенными значениями амплитуды и частоты. При этом применяются цепи обратной связи, вибрационное сглаживание, другие методы.