2.7.2.Теоремы Ляпунова
Кроме определений Ляпуновым были разработаны два метода анализа устойчивости решений дифференциальных уравнений.
Суть первого метода
заключается в замене нелинейной системы
(2.70) линейной (линеаризованной) путем
разложения правых частей уравнений
(2.70) в ряды Тейлора относительно начала
координат
и отбрасывания всех нелинейных членов.
В результате получаются линейные
уравнения (уравнения первого приближения)
,
, (2.71)
где
− постоянные коэффициенты.
Ляпуновым доказана следующая основная теорема первого метода, которую приведем в упрощенной форме: если линейная система (2.71) асимптотически устойчива, то положение равновесия нелинейной системы (2.70) будет асимптотически устойчивым в малом, если система (2.71) неустойчива, то положение равновесия (2.70) будет неустойчивым.
По первому методу, исключая так называемые критические случаи, задача анализа устойчивости нелинейной системы сведена к более простой задаче анализа линейной системы. Первый метод Ляпунова не позволяет исследовать устойчивость в большом, целом или абсолютную устойчивость. Для этих целей Ляпуновым был разработан второй метод или прямой метод анализа устойчивости.
Введем в рассмотрение
непрерывную функцию
переменных, такую, что
при
,
,
т.е. обращающуюся обязательно в ноль в
начале координат.
Если в некоторой
области переменных
функция
или
,
то ее называют знакоопределенной:
соответствен положительно
определенной
или отрицательно
определенной.
Если функция
сохраняет свой знак, но может обращаться
в ноль не только в начале координат, то
ее называют знакопостоянной
(положительной
или отрицательной).
Такие функции в дальнейшем будем называть
функциями
Ляпунова.
Примеры функций:
− положительно
определенная;
− отрицательно
определенная;
− знакопостоянная
функция (положительная).
Наконец, функция
называется знакопеременной,
если в рассматриваемой области она
меняет свой знак. Например,
.
Приведем три основные теоремы Ляпунова второго метода.
1. Если для
системы уравнений (2.70) существует
знакоопределенная функция
,
производная которой
является знакопостоянной противоположного
знака, то решение
устойчиво.
2. Если в предыдущем
случае производная
будет знакоопределенной, но противоположного
знака, то решение
будет устойчивым асимптотическим.
3. Если для
системы уравнений (2.70) существует функция
,
производная которой
является знакоопределенной функцией,
причем в любой сколь угодно малой
окрестности начала координат, имеется
область, в которой знаки
и
совпадают, то решение
системы (2.70) неустойчиво.
Отметим, что приведенные в теоремах условия являются только лишь достаточными и эффективность их будет зависеть от выбранной функции Ляпунова . Не существует в общем случае методик выбора функций Ляпунова, дающих необходимые и достаточные условия.
Довольно часто в качестве функций Ляпунова используют квадратичные формы, для которых, используя известные критерии, можно сравнительно легко определять их знак.