19.Плотность вероятности нсв, ее свойства.

Плотность вероятностей. Пусть X – непрерывн. СВ с интервальн. функц. распредел. F(x). F(x) непрерывна и дифференцируема в исследуемом интервале. Рассмотрим событие, состоящее в том, что некоторая случайная величина Х попадает в интервал (x<X<x+ x) и рассмотрим вероятность такого события.

P (x<X<x+ x) = P(X< x) + P (x<X<x+ x)

P (x<X<x+ x ) = P ( X<x + x) – P (X< x) = F(X< x+ x) – F(x) = F(x)

Предел отношения F(x) к х при х стремящемся к 0 = F штрих от х – это величина вероятности приходящаяся на единицу длины промежутка, то есть плотность вероятности.

Плотность вероятности : f(x) = F штрих от х

20. Числовые характеристики случайных величин

Модой(M_o(X)) CB X называется ее наиболее вероятное значение, т.е. значение, для кот. вер. p_i или плотность вероятности f(x) достигает максимума. Если вер. или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в несколбких точках, то распредел. называется полимодальным.

Медианой (M_e(X)) НСВ Х называется такое ее значение, для кот. вер. того, что X< M_e(X) равна вер. того, что X> M_e(X) и равна ½, т.е. вер. того, что СВ Х примет значение меньше M_e или больше ее одна и таже и равна ½. Геометрически медиана – это вертикальн. прямая x= M_e(X), проходящая через точку M_e(X), кот. делит площадь фигуры кривой распределения на 2 равные части.

Коэффициент ассиметрии(А). A= , где - среднеквадратич. отклонение, - центральный момент 3-ей степени. Если распределение симметрично относительно мат. ожидания, то А=0.

Эксцессом или коэффициентом эксцесса называют число E= -3. Число 3 вычитается из соотношения , т.к. для наиболее часто встречающегося нормальн. распределения величина =3. Кривые более островершинные, чем нормальные обладают положительн. эксцессом, а более плосковершинные – отрицат. эксцессом.

21. Наиболее часто встречаемые законы распределения вероятностей нсв.

Равномерный закон распределения НСВ

НСВ имеет равномерный закон распределения на нек отрезке [а;б], если ее плотность вероятностей постоянна на этом отрезке и равна 0 вне его.

Найдем ФРСВ равномерно распределенной на [a,b]

1. x<a

2. a<x<b

3. x>b

Найдем числовые характеристики

Показательный закон распределения НСВ

НСВ имеет данный закон распределения с праметромо лямда, если плотность вер-ти СВ имеет вид:

В таком случае

1. при x<0

2. x>0

MX= =1/λ

DX= =

Нормальный закон распределения НСВ

НСВ имеет Нормальный закон распределения с параметрами а и сигма в квадрате задается плотностью распределения вида

21. Нормальная кривая. Влияние параметров на ее форму.

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

            При x = m + s и x = m - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.

            В этих точках значение функции равно .

            Построим график функции плотности распределения.

 

 

            Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается..