8. Вектора. Операции над векторами. Скалярное, векторное, смешнное произведения.

ВЕ́КТОР -отрезок определенной длины и направления.

Операции над векторами.

1. Сложение векторов.

Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю.

Свойства сложения.

1. а+b=b+a

2. a+(b+c)=(a+b)+c

2.Вычитание векторов.

a-b=a+(-b)

3. Умножение на число.

Свойства

1)альфа(a+b)=альфа a+альфа b

2)(альфа+бетта)a=альфа а+бетта a

Скалярное произведение.

-это алгебраическое выражение вычисляемое по правилу

Свойства

1)(a,b)=(b,a)

2)(a+c,b)=(a,b)+(c,b)

3) (a,a)=[a]²

4) (число а,b)=число(а,b)

Вычисление скалярного произведения в координатной форме.

(a,b)=a1b1+a2b2+a3b3

x={x1,x2,x3}

Векторное произведение

-это есть вектор с, такой что

1) [c]=[a]*[b]*sin a b

2)c перпендик. Плоскости a,b

Вектор выбирается так,что если смотреть из вершин вектора с, на вектор а к вектору b , осуществляется против часовой стрелки.

Свойства

1. [ab]=c

В квадратных скобках векторное произведение

A x B- тоже векторное произведение

2. [a,0]=0

3. [a,b]=0

4. [число a,b]=[a,число b]=число[a,b]

5. [a,b]=-[b,a]

6. a={a1,a2,a3}

b={b1,b2,b3}

[a,b]=c

c={c1,c2,c3}

c={c1,c2,c3}={[a2,b2];-[a1,a3]; [a1,a3]}

[b2,b3]; [b1,b3]; [b1,b3]

7. S паралел.=[[a,b]]

S треуг.= [[a,b]]/2

Смешанное произведение

Вектора комплонарны если они лежат в одной плоскости или паралельный

Если определитель матрицы равен 0 то вектора компл, если не равен 0 то НЕТ.

Если вектора не компланарны, то можно найти их смешанное произведение

<a,b,c>=([a,b],c)

V_пар=[<a,b,c>]

V_a,b,c=([a,b],c)

9. Понятие пределов. Свойства пределов. Предел функции.

Предел — постоянная, к которой неограниченно приближается некоторая переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней.

Свойства пределов

1. Предел суммы

Предел суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует, т.е.

2. Предел разности

Предел разности равен разности пределов, если каждый из них существует, т.е.

3. Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

4. Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

5. Предел произведения Предел произведения равен произведению пределов, если каждый из них существует, т.е.

6. Предел частного

Предел частного равен частному пределов, если каждый из них существует и знаменатель не обращается в нуль, т.е.

7. Предел степенной функции

где степень p - действительное число.

8. Предел показательной функции

где основание b > 0.

9. Предел логарифмической функции

где основание b > 0.

Предел функции.

10. Разрешение неопределенностей при нахождении пределов.

11. Непрерывность функций. Точка разрыва.

Функция у = f (х) называется непрерывной в точке х0, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента х-х0= х соответствует бесконечно малое приращение функции.

 у—у₀ = у, т. е. если

lim y = lim [ f (х₀ + х) – f (х₀)] = 0.

Функция f (х) называется непрерывной в точке х0, если при х—> х0 предел функции существует и равен ее частному значе­нию в этой точке, т. е. если lim f(х) = f (x0).

x->х0

Для непрерывности функции f(х) в точке х0 необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1)функция должна быть определена в некотором интервале, содержащем точку х0.(т. е. в самой точке х0 и вблизи этой точки);

2) функция должна иметь одинаковые односторонние пределы

lim f (х) = lim f (x);

x->х0 -0 x->х0 +0

3) эти односторонние пределы должны быть равны f (x0).

Функция f (x) называется разрывной в точке х0, если она опре­делена в сколь угодно близких точках, но в самой точке х0 не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.

Разрыв функции f(х) в точке х0 называется конечным, или 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы

lim f(x) и lim f(х).

x-> х0 -0 x-> х0 +0

Все другие случаи разрыва функции называются разрывами- 2-го-рода; в частности, если хотя бы один из указанных односторонних пределов окажется бесконечным, то и разрыв функции называется бесконечным.

Скачком функции f(х) в точке разрыва х0 называется раз­ность ее односторонних пределов lim f(x) и lim f(х) если они различны.

x-> х0 -0 x-> х0 +0

Если точка х0 является левой или правой границей области определения функции f(х), то следует рассматривать значения функции соответственно только справа или только слева от этой точки и в самой точке. При этом:

1) если граничная точка х0 входит в область определения функции, то она будет точкой непрерывности или точкой раз­рыва функции, смотря по тому, будет ли предел функции при х —>х0 изнутри ее области определения равен или не равен f(х0);

2) если граничная точка х0 не входит в область определения функции, то она является точкой разрыва функции.

Функция называется непрерывной в некотором интервале, если она непрерывна во всех точках этого интервала.

Все элементарные функции непрерывны в тех интервалах, в которых они определены.

При отыскании точек разрыва функции можно руководство­ваться следующими положениями:

1. Элементарная функция может иметь разрыв только в от­дельных точках, но не может быть разрывной во всех точках какого-либо интервала.

2. Элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, где она не определена, при условии, если она будет оп­ределена хотя бы с одной стороны от этой точки в сколь угодно близких к ней точках.

3. Неэлементарная функция может иметь разрывы как в точ­ках, где она не определена, так и в точках, где она определена; в частности, если функция задана несколькими различными ана­литическими выражениями (формулами) для различных интер­валов изменения аргумента, то она может иметь разрывы в тех точках, где меняется ее аналитическое выражение.