13. Классификация точек разрыва.

Пусть точка x₀ - точка разрыва для функции .

1) Точка x₀ – точка разрыва 1 рода, если существуют конечные правый и левый пределы функции в данной точке.

Если при этом ,

то точка x₀ – точка разрыва I рода, устранимого разрыва.

Если ,

то точка x₀ – точка разрыва I рода со скачком.

2) Точка x₀ – точка разрыва 2 рода, если правый или левый пределы функции в данной точке не существуют или равен бесконечности.

Примеры.

,

1) 2

2 ,

Здесь - точка разрыва 1 рода, устранимого разрыва, т.к.

, , но .

, 3

2)

2*x+1 ,

1

Здесь - точка разрыва 1 рода со скачком, т.к.

, а .

x

3 )

0 y

Здесь - точка разрыва 2 рода, поскольку

, а .

Теорема 1. Любая непрерывная на отрезке [a,b] функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения.

Теорема 2. Пусть функция y=f(x), непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разного знака, тогда между числами a и b найдется такое число с, что .

y f(x)

a c b x

Теорема 3. Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то она и ограничена на этом отрезке.

3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

   1. Производная.

Рассмотрим функцию f(x), которая определена на множестве Х.

Зададим аргументу x приращение x и при этом получим приращение функции

.

Определение. Производной функции в точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к 0, если этот предел существует.

.

Если же предел равен "+" или "-" бесконечность, то говорят, что функция имеет бесконечную производную.

Дифференцирование – это операция нахождения производной функции.

Пример.

; ; ; ; .

2. Геометрический смысл производной.

y=f(x) MP – секущая,

f(x₀+x) P S S – касательная,

MN = ,

PN = .

f(x₀) M N

x

0

, .

Определение. Касательной к графику функции f(x) в точке M называют предельное положение секущей MP при условии, что , т.е. для существования касательной в точке достаточно, чтобы существовал предел при равный углу наклона касательной к положительному направлению оси ОХ.

Очевидно, что .

Вычислим .

Поскольку при , - .

Таким образом

производная функции в некоторой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции, проведенной именно в той же самой точке, к положительному направлению оси ОХ, или равна угловому коэффициенту касательной в данной точке.

Уравнение касательной в точке

; .