Физический смысл коэффициентов гармонической линеаризации.

Физический смысл гармонической линеаризации состоит в следующем. Рассмотрим сначала однозначную нелинейность (7) и опустим из рассмотрения высшие гармоники - это уравнение прямой с наклоном .

Это выражение примерно заменяет нелинейную характеристику y=F(x) прямой линией y=q(a)x в диапазоне изменения амплитуды от –а до + а.

При другой амплитуде входного сигнала а₁, будет другой коэффициент q(a₁) и значит другой наклон прямой линии (чем больнее «а» тем меньше угол наклона). Отличие от обычной линеаризации (которая была в части 1 ТАУ) в том, что при обычной линеаризации наклон прямой был постоянен при любом входном сигнале, при гармонической линеаризации входной сигнал – гармоника и угол наклона зависит от амплитуды этой гармоники.

Для неоднозначных нелинейностей (см. 6 без учета высших гармоник) первое слагаемое правой части также характеризует замену нелинейной характеристики y=F(x) прямой линией y=q(a)x с наклоном зависящим от амплитуды «а» входного гармонического сигнала. Второе же слагаемое зависящее от (которое всегда отрицательно) означает, что фаза сигнала гармонически линеаризованного элемента будет отставать от фазы на входе. Величина этого отставания тоже зависит от амплитуды «а».

Определим коэффициенты g(a) и m(a) для различных линейных звеньев.

Пусть задана нелинейность

Частные случаи

Математические ожидания сигналов на выходе стационарных сар.

Д ана САР, к которой приложены в разных точках полезное X(t) и возмущающее Y(t) воздействия (полученные здесь результаты легко распространяются на любое количество входных сигналов). САР описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, поэтому будем считать заданными передаточные функции САР по полезному сигналу X(t)

, (1)

где Z(P) и X(P) изображения по Лапласу выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях;

и возмущающему воздействию Y(t)

. (2)

В силу однозначной связи между передаточными и весовыми функциями системы тем самым заданы и эти весовые функции:

где L^-1 – символ обратного преобразования Лапласа,

- весовая функция САР по выходному полезному сигналу,

- весовая функция САР по возмущающему воздействию.

Сигналы ; (здесь и - случайные составляющие сигналов, а и - неслучайные составляющие, т.е. математические ожидания этих процессов) считаем стационарными случайными процессами. Для нашей задачи существенно то, что математические ожидания процессов X(t) и Y(t) известны и постоянны, т.е. задано, что , .

Необходимо найти математическое ожидание выходного сигнала (поскольку неизвестно, какой будет выходной процесс - стационарный и нестационарный, мы вынуждены пока считать его нестационарным и, значит, его математическое ожидание зависящим от времени, а не постоянным).

Поскольку САР линейна, то к ней применим принцип суперпозиции, т.е. ее выходной сигнал будет складываться из частей, обусловленных полезным X(t) и возмущающим Y(t) сигналами, т.е. , где

- доля в математическом ожидании выходного сигнала, обусловленная сигналом X(t),

- доля в математическом ожидании выходного сигнала, обусловленная сигналом Y(t).

Эти доли при известных , , , находятся с помощью интегралов Дюамеля

; (3)

. (4)

Из курса ТАУ известно, что

.

где L – символ прямого преобразования Лапласа.

Если в этих двух последних формулах положить p=0, то получится с учетом (1) и (2)

.

и, следовательно, исключая из (3) и (4) получается

, , т.е.

Итак, математическое ожидание установившегося выходного процесса в стационарной линейной системе при стационарных входных и возмущающих воздействиях постоянно.