80. Логические основы проектирования цифровых устройств. Понятие функционально- полного набора логических элементов.
Задачи, решаемые при разработке цифровых логических устройств, можно разделить на две категории:
1. Синтеза.
2. Анализа.
Синтез - это процесс построения схемы цифрового устройства по заданию.
Анализ - процесс обратный синтезу.
дискретного устройства, отражающая только его свойства по переработке сигналов, называется дискретным (цифровым) автоматом.
В общем случае, модель представляет собой многополюсный черный ящик с m входами и n выходами (рис.1.3). Состояние автомата определяется состояниями сигналов на его входах и выходах. Совокупность входных и выходных переменных Х и Z образуют входное и выходное слово автомата, соответственно.
Различные значения входных переменных образуют алфавит (т.к. алфавит входных и выходных переменных един, в дальнейшем будет рассматриваться только один алфавит). В цифровой технике алфавит входного (выходного) слова содержит два значения (две буквы) "1" и "0".
Каждое слово - набор переменных на входе или на выходе автомата, отличается от другого слова хотя бы одной буквой. Каждая буква слова поставлена в соответствие с номером входа (выхода) автомата.
Функционально полная система логических функций представляет собой набор логических функций, с помощью которых можно записать любую, сколь угодно сложную функцию. В этом случае говорят, что этот набор образует базис. Функционально полными являются 3 базиса:
1) "И-ИЛИ-НЕ" (базис конъюнкции, дизъюнкции, инверсии)
2) "И-НЕ" (базис Шеффера)
3) "ИЛИ-НЕ" (базис Пирса или функция Вебба).
Элементы, реализующие операцию "И-НЕ", “ИЛИ-НЕ” и “Исключающее ИЛИ” на принципиальных и структурных схемах изображаются так:
Полусумматор находит сумму двух двоичных чисел 0 и 1 согласно таблице сложения:
-
+
0
1
0
0
1
1
1
10
Пусть p и q обозначают числа, которые требуется сложить, d0 – младший разряд суммы, d1 – старший (разряд переноса). Тогда приходим к следующим таблицам истинности:
Табл. 1
p |
q |
d0 |
d1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Следовательно,
,
где черта сверху обозначает отрицание,
а знак конъюнкции для краткости опущен.
Это выражение можно преобразовать в
.
Бит d1
выражается ещё проще,
d1=p&q.
Если обозначить логические элементы следующим образом:
то полусумматор можно представить в виде следующей простой схемы:
Рис.1 Схема полусумматора на элементах «НЕ-ИЛИ-И».
Если теперь использовать полусумматор как отдельный логический элемент с двумя входами и двумя выходами, обозначим его значком
Полный сумматор складывает три одноразрядных двоичных числа. Следовательно, он может сложить два двоичных числа с тем числом, которое «переносится». Обозначим два складываемых числа через p и q, а бит переноса – r. На выходе будем иметь два бита суммы – младший D0 и старший –D1, который будет являться битом переноса для следующего разряда. Имеем следующие таблицы истинности:
Табл. 2
p |
q |
r |
D0 |
D1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Можно видеть, что D0 есть результат сложения d0, полученного в полусумматоре, c r, а D1 можно получить из таблицы истинности в виде формулы
Это выражение можно сократить, воспользовавшись картой Карно:
q ~q
x |
x |
|
x |
x |
|
|
|
~p
r ~r r
В итоге получим
поэтому сумматор может быть представлен в виде следующей схемы:
Рис. 2. Схема сумматора.