41. Критерий устойчивости а.М. Ляпунова для нелинейных систем.

Нелинейные САР, в отличие от линейных, не обладают принципом суперпозиции, поэтому методика определения устойчивости нелинейных САР, базирующаяся на исследовании свободных колебаний, как в линейных, здесь не годится. Возможность автоколебаний в нелинейных САР ещё более усложняет вопрос.

Основоположником теории устойчивости нелинейных САР был русский математик А.М.Ляпунов, который в 1892 г. поставил общую задачу об устойчивости движения и сформулировал понятия устойчивости.

При исследовании устойчивости по Ляпунову рассматриваются понятия невозмущённых и возмущённых движений системы. Под невозмущённым движением понимают одно из возможных расчётных движений системы при некоторых определённых начальных условиях. Состояния установившегося процесса, равновесия и установившегося режима автоколебаний можно рассматривать как важные частные случаи невозмущённых движений, а отклонения от них - возмущенные движения.

Для общего суждения об устойчивости движения пользуются понятием устойчивости, данное A.M. Ляпуновым: движение устойчиво, если для любой сколь угодно малой заданной области ε допустимых отклонений х_i (возмущённое движение) от точки х_i=0

(невозмущённое движение) можно указать область начальных значений δ(ε),

лежащую внутри области ε и обладающую тем свойством, что ни одно возмущённое движение, начавшееся внутри области δ, никогда не достигнет границы области ε. Если такой области (S(ε)) не существует, то движение

н еустойчиво. Интерес представляет случай, когда все возможные движения при стягиваются в начало координат, т.е. (1). Такое движение называют асимптотически устойчивым. Если для выполнения (1) требуется, чтобы область начальных отклонений δ была достаточно мала, то говорят об асимптотической устойчивости в малой. Если область δ может иметь конечные размеры, то говорят об асимптотической устойчивости в большом. Если, наконец, (1) выполняется при сколь угодно больших начальных отклонениях, то говорят об асимптотической устойчивости в целом.

Для описания нелинейных систем будем пользоваться дифференциальными уравнениями в форме Коши, полагая, что они записаны для переходных процессов в отклонениях всех переменных от их значений (т.е. для возмущённых движений х_i(t_i)) в установившемся процессе (т.е. невозмущённого движения х_i=0. Следовательно, эти уравнения для нелинейных систем n-го порядка будут

где функции X_i произвольны и содержат любого вида нелинейности, но всегда удовлетворяют условиям Х₁ = Х₂ =... = Х_п = 0 при х₁ = х₂ =... = х_п = 0 (3), т.к. в установившемся состоянии все отклонения переменных и их производные равны, очевидно, нулю по самому определению понятия этих отклонений.

Пусть имеется функция нескольких переменных V =V(x₁, х₂ …х_n), где х₁ не обязательно х_i из (2), т.е. отклонения от установившегося значения. Представим себе n-мерное фазовое пространство, в котором х₁, х₂...х_п являются прямоугольными координатами (это будет, в частности фазовая плоскость при n =2 и обычное трехмерному пространство при n=3. тогда в каждой точке указанного пространства функция V будет иметь некоторое определённое значение.

Будем называть функцию V знакоопределённой в некоторой области, если она во всех точках этой области вокруг начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме только самого начала координат.

Функция V называется знакопостоянной, если она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках вокруг начала координат.

Функция V называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат может иметь разные знаки (а в начале координат - нуль).

Примеры. 1.Пусть n=2 и V=x²₁ + x²₂. Это знакоопределённая положительная функция, т.к. V=0 только тогда, когда x₁ = х₂ = 0 одновременно, а V>0 для любых других х_i. Аналогично при любом п функция V = х₁² +х₂²...х²_n, будет знакоопределённой положительной, а V = –(х₁² + ...х²_n)-знакоопределённой отрицательной.

2.Если взять функцию V = x_l² + x₂² при n=3, то она уже не будет знакоопределённой, т.к., оставаясь положительной при любых х₁, х₂, х₃. Она может обращаться в нуль не только при х₁ = х₂ = х₃ = 0, но и при любом значении х₃, если только х₁=х₂=0 (т.е.на всей оси х₃).3начит, это знакопостоянная положительная функция.

3.Наконец, функция V=x_l+x₂ ,будет знакопеременной, т.к. она положительна для всех точек справа от прямой х₁ = -х₂ и отрицательна слева от этой прямой.

Любую функцию V =V(x₁, x₂...x_n), тождественно обращающуюся в нуль при x_l=x₂=...= x_n = 0 будем называть функцией Ляпунова, если в ней в качестве величин х₁, х₂ ...x_n взяты те отклонения переменных системы регулирования в переходном процессе x₁=x₁(t),…x_m, в которых записываются уравнения (2) для этой системы.

Производная от функции Ляпунова по времени будет

Подставив сюда значения из (2) получим производную от функции Ляпунова в виде

где х₁, х₂,...Х_п - правые части уравнений (2) САР, представляющие собой заданные функции от отклонений x₁, х₂…х_п.

С ледовательно, производная от функции Ляпунова по времени, так же как и сама V, является некоторой функцией отклонений, т.е.

причем эта функция W, так же как и сама V тождественно обращается в нуль при х₁ = х₂ =... = х_п = 0. Поэтому к ней в одинаковой степени можно применить все те же понятия знакоопределенности, знакопостоянства и знакопеременности в некоторых областях вокруг начала координат, как и к функции V.

ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНЯ НЕЛИНЕЙНОЙ САР

Если при заданных в форме (2) уравнениях системы n-го порядка можно подобрать такую знакоопределенную функцию Ляпунова V(x₁,x₂,…х_п), чтобы её производная по времени W(х₁,х₂,...х_n) тоже была знакоопределённой (знакопостоянной), но имела знак, противоположному знаку V, то данная система асимптотически устойчива (устойчива).