1.2. Преобразование абстрактных автоматов

Минимизация числа состояний абстрактного автомата

Два автомата называются эквивалентными, если они реализуют один и тот же алфавитный оператор. Задача минимизации числа состояний автомата формулируется следующим образом: задан автомат A и требуется построить эквивалентный автомат , имеющий минимальное число состояний.

Рассмотрим алгоритм минимизации числа состояний абстрактного автомата Мили A = <V,W,S,,,s(0)>. Задача решается за N шагов. Введем определения понятий, которые используются при описании алгоритма.

Определение: состояние s 1-эквивалентно состоянию , если и только если столбец таблицы выходов для состояния s совпадает со столбцом таблицы выходов для состояния .

Определение: состояние s тождественно , т.е. s  , тогда и только тогда, когда и столбец таблицы переходов для s совпадает со столбцом таблицы переходов для .

Определение: состояние s k-эквивалентно состоянию для k2, если и только если состояние s (k-1)-эквивалентно состоянию и (k-1)-замещенный столбец таблицы переходов для s совпадает с (k-1)-замещенным столбцом таблицы переходов для .

Определение: (k-1)-замещенным назовем столбец таблицы переходов, в котором каждый символ sS заменен на наименование (k-1)-класса, которому принадлежит s.

Алгоритм минимизации:

Шаг 1. Разбить множество состояний S на два или более 1-классов по отношению 1-эквивалентности, которое обозначим .

Если разбиение на 1-классы невозможно, то автомат уже имеет минимальное число состояний и работа алгоритма заканчивается.

Если разбиение на 1-классы возможно, выявить в каждом 1-классе подклассы тождественных состояний по отношению тождественности .

Оставить в каждом 1-классе по одному представителю каждого подкласса тождественных состояний: получим окончательные значения 1-классов .

Шаг k. Разбить каждый (k-1)-класс на два или более k-подклассов по отношению k-эквивалентности.

Если ни один (k-1)-класс не поддается разбиению, то перейти к завершающему шагу N.

Шаг N. В полученном разбиении выбрать из каждого класса по одному представителю состояний, которые и остаются в минимизированном автомате. Если в полученной таблице переходов имеются удаленные состояния, следует заменить их представителями соответствующих классов.

Пример 4. Автомата Мили задан таблицами выходов и переходов:

Шаг 1. Предварительное 1-разбиение есть , где и . Но s₅s₇, потому отбрасываем из состояние s₇ и получаем окончательное 1-разбиение {C_1,1,C_1,2}, где C_1,1={s₁,s₃,s₅} и C_1,2={s₂,s₄,s₆,s₈}. В столбце для s₂ заменяем s₇ на s₅:

Ш аг 2. 1-замещенная таблица переходов для класса C_1,1 есть

	s1 s3 s5
v1 v2	C1,1 C1,2 C1,2 C1,2 C1,1 C1,1

Разбиваем C_1,1 на два 2-класса: C_2,1={s₁} и C_2,2={s₃,s₅}. 1-замещенная таблица переходов для класса C_1,2:

	s2 s4 s6 s8
v1 v2	C1,1 C1,2 C1,2 C1,1 C1,2 C1,1 C1,1 C1,2

Разбиваем на два 2-класса C_2,3={s₂,s₈} и C_2,4={s₄,s₆}.

Шаг 3. C_2,1 входит в окончательное разбиение, поскольку содержит только одно состояние. 2-замещенная таблица переходов для C_2,2:

	s3 s5
v1 v2	C2,4 C2,4 C2,2 C2,2

т.е. C_2,2 не поддается разбиению. 2-замещенная таблица для C_2,3:

	s2 s8
v1 v2	C2,2 C2,2 C2,4 C2,4

т.е. C_2,3 не поддается разбиению. 2-замещенная таблица для C_2,4:

	s4 s6
v1 v2	C2,3 C2,3 C2,2 C2,2

т .е. C_2,4 не поддается разбиению. Итак, поскольку дальнейшее разбиение невозможно, получено разбиение { C_2,1, C_2,2, C_2,3, C_2,4}. Выбираем в каждом классе по одному представителю, например: s₁ C_2,1, s₂ C_2,2, s₃ C_2,3, s₄ C_2,4. Тогда таблицы переходов и выходов минимизированного автомата: