Вопрос 2-3

Определение 3. ^ Пересечением множеств А и В называется множество, обозначаемое и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам А и В. Это определение символически можно записать так: . Например, ; . Определение 4. Объединением множеств А и В называется множество, обозначаемое и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадле­жат хотя бы одному из множеств А, В. Это определение символически можно записать так: . Например, .

Определение 5.^ Разностью множеств А и В называют множество, обозначаемое А\В и состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В. Определение 6. Пусть А — подмножество мно­жества Е. Дополнением множества А в множестве Е называют множество, состоящее из всех тех и только тех элементов из Е, которые не принадлежат А, и обозначают . Например, если ^ Е — множество всех целых чисел, А — множество всех четных чисел, то — множество всех нечетных чисел. Если Е — множество всех людей, А — множество всех мужчин, то — множество всех женщин. !!!3!!! Пусть Р(Е) — совокупность всех подмножеств мно­жества Е. Р(Е) замкнуто относительно операций объеди­нения, пересечения и дополнения множеств, т.е. произ­водя эти операции над элементами множества Р(Е), получаем элементы, принадлежащие Р(Е). Множество Р(Е) с введенными операциями называют буле­вой алгеброй подмножеств множества Е. Подобно тому, как сложение и умножение чисел удовлетворяют известным законам коммутативности ассоциативности и дистрибутивности, операции объеди­нения, пересечения и дополнения в алгебре подмножеств подчинены аналогичным законам, а также ряду других. Выпишем основные законы, которым подчиняются эти операции: Универсальным методом доказательства вышеприве­денных равенств является доказательство, основанное на определении равенств двух множеств, т.е. два множест­ва А и В равны тогда и только тогда, когда выполнены два включения: и . Приведем доказатель­ства некоторых из этих соотношений.

Вопрос 3

Прямое или декартово произведение множеств — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств.

Пусть даны два множества X и Y. Прямое произведение множества X и множества Y есть такое множество X×Y, элементами которого являются упорядоченные пары (x,y) для

всевозможных x∈X и y∈Y.

т.е. например даны множества A={1,2,3} и B={a,b} их декартово произведение A×B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Вопрос 5

Соответствия

Соответствием между множествами А и В называется подмножество G⊆A×B.

Если (a, b) ∈ G, то говорят, что b соответствует а при соответствии G. Множество np1G называется областью определения соответствия, множество np2G — областью значений соответствия. Если np1G = А, то соответствие называется всюду определенным (в противном случае соответствие называется частичным); если np2G = В, то соответствие называется сюръективным.

Множество всех b ∈ B, соответствующих элементу а ∈ А, называется образом а в В при соответствии G. Множество всех а, которым соответствует b, называется прообразом b в А при соответствии G. Если С ∈ np1G, то образом множества С называется объединение образов всех элементов С. Аналогично определяется прообраз множества D для любого D ⊆ np2G.

Соответствие G называется функциональным (или однозначным), если образом любого элемента из np1G является единственный элемент из np2G. Соответствие G между А и В называется взаимно-однозначным (иногда пишут «1-1-соответствие»), если оно всюду определено, сюръективно, функционально и, кроме того, прообразом любого элемента из np2G является единственный элемент из np1G.

Так, например, англо-русский словарь устанавливает соответствие между множеством английских и русских слов. Это соответствие не является функциональным (так как одному английскому слову, как правило, ставится в соответствие несколько русских слов); кроме того, оно практически никогда не является полностью определенным: всегда можно найти английское слово, не содержащееся в данном словаре.

Позиция на шахматной доске представляет собой взаимно-однозначное соответствие между множеством оставшихся на доске фигур и множеством занятых ими полей.

Отображения и функции

Функцией называется функциональное соответствие. Если функция f устанавливает соответствие между множествами A и В, то говорят, что функция f имеет тип А → B (обозначение f: А → В). Каждому элементу а из своей области определения функция f ставит в соответствие единственный элемент b из области значений. Это обозначается хорошо известной записью f(а) = b. Элемент а называется аргументом функции, b — значением функции на а.

Полностью определенная функция f: А → В называется отображением А в В. Образ А при отображении f обозначается f(А). Если соответствие f при этом сюръективно, т. е. каждый элемент В имеет прообраз в A, то говорят, что имеет место отображение A на B (сюръективное отображение).

Функции f и g равны, если их область определения — одно и то же множество A и для любого а ∈ A f(a) = g(a).

Всякая нумерация счетного множества является его отображением на N. Каждому человеку соответствует множество его знакомых. Если зафиксировать момент времени, то это соответствие будет однозначным и явится отображением множества M людей, живущих в этот момент, в множество подмножеств M.

Пусть дано соответствие G⊆A×В. Если соответствие H⊆B×А таково, что (b, a) ∈ H тогда и только тогда, когда (а, b) ∈ G, то соответствие Н называется обратным к G и обозначается G-1. Если соответствие, обратное к функции f : А → В, является функциональным, то оно называется функцией, обратной к f, и обозначается f-1. Так как в обратном соответствии образы и прообразы меняются местами, то для существования функции, обратной к f : A → В, требуется, чтобы каждый элемент b из области значений f имел единственный прообраз. Это в свою очередь означает, что для функции f : А → В обратная функция существует тогда и только тогда, когда f является взаимнооднозначным соответствием между своей областью определения и областью значений.

Пусть даны функции f: А → В и g: B → C. Функция h: А → С называется композицией функций f и g (обозначение f°g), если имеет место равенство h (х) = g (f(x)), где x∈A. Композиция f и g представляет собой последовательное применение функций f и g; g применяется к результату f. Часто говорят, что функция h получена подстановкой f в g. Знак ° аналогично умножению часто опускается.