1 Способ. (с помощью опр. По Гейне)

Т.к. x->a, то рассмотрим произв. Послед. ,при n такую, что

Используя свойства предела посл-ти получим = -3* =2-3x

2 Способ. (с помощью опр. Предела по Коши)

Требуется для любого Эпсилон >0 найти число такое, что для всех х, удовл. условию 0<|x-a|< , выполнялось бы нер-во |(2-3x)(2-3x)|< 3|x-a|<  |x-a|< . Очевидно, что достаточно взять f(

Обобщение предела функции в точке. Предел функции при х . Односторонние пределы функции.

8.2. Предел функции при х

Определение предела функции в точки по Кошизаписывается в терминах окрестностей и позволяет поместить его беск. отдоления точек.

Определение 1.

(Число А называется пределом функции f(x) при х )  (

Замечание:

1) В опре. Содержится требование, чтобы область определения функции содержала некот. Окрестность точки

2) Заменяя условие соответствующим неравенством, получим определение по Коши для случаев х

3) Используя б.б.п. легко сформулировать опр. Предела по Гейне для этих же случаев.

4) Как и в случае х , где а , определения пределов по Коши и по Гейне эквивалентны

8.3 Односторонние пределы функции

Определение 1. (по Гейне)

Число А называется левым пределом f(x) в точке А сходится посл-ти элементы которой меньше левого (больше правее), и выполняется неравенство

Определение 2.

Число А называется левым (правым) пределом f(x) в точке А |<

Замечание:

Опр. Односторонних пределов по Коши легко формулируются в терминах полуокрестностей точки а: )( |<

Теорема. (Определения по Коши и по Гейне эквивалентны)

Док-во: аналогично.

Теорема. ( )(1. и 2. = )

| |<

|<

Вопрос 19.

Свойства пределов функций, связанные с арифметическими операциями и предельным переходом в неравенства.

Теорема 1

] =A и =B

Тогда

1). А В

2.

3. при =

Докажем 2е определение по Гейне

]

ЧТД!!!

Теорема 2.

Док-во

Рассмотрим все ее члены лежат в проколотой окресности

Тогда

И

ЧТД!!!

Теорема 3(о промежуточных значения, правило о двух Милиционерах)

] 1)

2)

Тогда

1)

Док-во

]

Тогда

Билет 20

Локальная ограниченность функции, имеющих конечный предел. Критерий Коши существования конечного предела.

Теорема 1. Локальная ограниченность.

]

Тогда

Док-во: В определении по Коши возьмем , В которой

=

ЧТД!!!

Определение.( (Для

Замечание! В определении содержится требование ,чтобв D(f) содержала некоторую проколотую окрестность точки

Теорема 2. Критерий Коши существ предела функции.

Для необходимо и достаточно, чтобы удовлетворяла условию в т. условия Коши

Док-во: Необх. Для .

, если

ЧТД!!!

Вопрос 21. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение 1: функция f(x) называется бесконечно малой функцией в точке ω, если .

Пример:

Замечание: в определении (в скрытом виде) содержится требование, чтобы область определения D(f) содержала некоторую проколотую окрестность точки ω.

Определение 2: функция f(x) называется бесконечно большой функцией в точке ω, если для

Кроме того, если в некоторой Ů(ω) f(x) ≥ 0, то пишут , а если f(x)<0, то

Замечание: определения конечного и бесконечного пределов в терминах окрестностей имеют одинаковый вид. Пусть Ω – либо действительное число A, либо один из символов: ∞, +∞ или -∞. Тогда: проколотая окрестность U(ω), в которой справедлива принадлежность

Теорема: если α(x) - бесконечно малая функция при xω и , то – бесконечно малая функция при xω.

Доказательство: с помощью последовательностей