Вопрос №2. Основные числовые множества. Некоторые свойства действительных чисел. Геометрическая интерпретация действ чисел. Окрестность точки.

Основные числовые множества

= 1, 2, 3, ..., n, ... - множество натуральных чисел

= …, -n, …, -1, 0, 1, …, n, … – множество целых чисел

= , где – множество рациональных чисел

- множество всех действительных чисел ( множество иррациональных чисел)

Очевидно включение .

Наиболее часто используемые подмножества множества (здесь x, a, b ):

1.⁰ : a x b = a; b – отрезок 2.⁰ : a x b = (a; b) – интервал 3.⁰ : a x b =(a; b 4.⁰ : a x b = a; b) 3⁰ и 4⁰ полуинтервалы (конечные) 5.⁰ : x a = a; + ) 6.⁰ : x b = (- b 5⁰ и 6⁰ бесконечные полуинтервалы 7.⁰ : x a = (a; + 8.⁰ : x b = (- b) 9.⁰ : - + = (- ; + ) = 7⁰,8⁰,9⁰ – бесконечные интервалы

Определение. Все подмножества множества , приведённые в пунктах 1⁰ - 9⁰ называются числовыми промежутками (или, короче, промежутками). Промежутки a; b , (a; b), (a; b и a; b) являются конечными, а промежутки ), (a; + ), (- ; b и (- ; + ) – бесконечными. Числа a и b называются их концами (левым и правым), а число (b-a) –длиной конечного промежутка.

Некоторые свойства действительных чисел.

1.⁰ Свойство упорядоченности: для справедливо одно из 3-х соотношений: либо a b, либо a=b, либо a b.

2.⁰ Свойство непрерывности. Пусть А и В – два произвольных непустых числовых множеств, обладающих свойством: неравенство a b справедливо для a A и В. Тогда для A, b .

3.⁰ Модуль действительного числа и его свойства.

Определение. Пусть a . Тогда модулем (абсолютной величиной) a называется неотрицательное число =

Свойства модуля:

1) + 2) - , ( ) - ) 3) = ∙ 4) = при b 0 5) Пусть b 0. Тогда ( ) b -b ( )a ( ) b

4⁰. Геометрическая интерпретация множества . Окрестность точки.

Определение. Прямая, на которой выбраны направление, начало отсчёта (точка О) и масштаб, называется числовой осью.

Между множеством действительных чисел и точками числовой оси устанавливают взаимно-однозначное соответствие по правилу:

1. Числу m соответствует точка М с координатой m;

2. и обратно, каждой точке М числовой оси соответствует число m - координата этой точки.

Это соответствие позволяет геометрически множество изображать направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа – точками этой прямой. Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой (или действительной) прямой, а отдельные числа – её точками.

Замечания. 1. В случае горизонтального расположения числовой оси направление (ориентацию) на ней обычно выбирают слева – направо – так, чтобы положительным числам соответствовали точки, расположенные справа от точки О, а отрицательные – слева от точки О. Поэтому (в соответствии с геометрической интерпретацией множества ) иногда вместо «а меньше b» (а больше b) говорят, что точка а лежит левее (правее) точки b.

2. В случае вертикального расположения числовой прямой направление на ней обычно выбирают снизу – вверх (положительным числам соответствуют точки, расположенные выше точки О, а отрицательным числам – ниже точки О).

Определение. Окрестностью (х₀) точки х₀ числовой оси называется любой интервал (а; b), где а b, содержащий точку х₀. В частности , интервал (х₀ – δ, х₀ + δ), где δ=const 0, симметричный относительно точки х₀, называется -окрестностью точки х₀ и обозначается _δ(х₀).

Определение. Проколотой окрестностью точки х₀ называется множество точек (х₀) числовой оси, получаемое из окрестности (х₀) этой точки исключением самой точки х₀.

Аналогично определяется проколотая -окрестность _δ(х₀) точки х₀:

(х₀) = (х₀) _{0 ,}

_δ(х₀) = (х₀) _{0 ,}

Определение. Полуокрестностью точки х₀ называется любой интервал числовой оси которого является точка х₀. При этом интервал ^-(х₀) = (а; х₀), где а х₀, расположенный слева от точки х₀ называется её левой полуокрестностью, а интервал ⁺(х₀) = (х₀; b), где b х₀, расположенный справа от точки х₀, - её правой полуокрестностью.

Если полуокрестность имеет длину δ 0, то её называют δ – полуокрестностью:

^- _δ(х₀) = (х₀ – δ; х₀) – левая δ – полуокрестность точки х₀

⁺_δ(х₀) = (х₀; х₀ + δ) – правая δ – полуокрестность точки х_0.

Множество _М(∞) действительных чисел х, удовлетворяющих неравенству – фиксированное положительное число, называется М-окрестностью символа .

Бесконечный интервал _М (-∞) = (-∞, М), где М , называется М-окрестностью символа (-∞).

Бесконечный интервал _М(+∞) = (М; +∞), где М , называется М-окрестностью символа (+∞).