Билет №5. Числовые последовательности. Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Пусть
любому
поставим в соответствие числа
x1,
x2,…,xn
(элементы последовательности) – числовая
последовательность.
Примеры:
=
Замечание:
xn
и xm
при
– считаются разными членами
последовательности, хотя как числа
могут совпадать.
Определение: Пусть { Хn} и {Уn} – числовые последовательности тогда:
{Xn+Yn} – сумма
{Xn-Yn} – разность
{Xn*Yn} – произведение
{Xn/Yn}(yn 0) – частное
Определение:
Последовательность
{Xn}
называется ограниченной сверху, если
.
Определение:
Последовательность
{Xn}
называется ограниченной снизу, если
.
Определение:
Последовательность
{Xn}
называется ограниченной, если
Определение:
Последовательность
{Xn}
называется ограниченной, если
Пример:
1.
– не ограничена;
при
2.
– ограниченнная;
для
Определение 1:
Последовательность
{αn}
называется бесконечно малой (б.м.п.),
если для
:
для
Замечание:
очевидно что
Опр.1 можно записать в следующем виде:
для
лишь конечное
число членов этой последовательности
удовлетворяет неравенству|αn|>=ε.
Определение
2: ({Xn}
– б.м.п.)
(Для
:
для
Замечание:
Эквивалентная
формулировка опр.2: Для любого А
0
лишь конечное число последовательности
удовлетворяет неравенству
хn
A.
Примеры:
1.
-б.м.п.
при n
N
(
)
2.
,
,
– б.б.п.
при n
Замечание:
1. Любая б.б.п. является неограниченной
2. Обратное вообще говоря неверно
– неограниченно,
но не б.б.п.
Вопрос 6. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
Лемма 1. Б.м.п. – ограничена.
Доказательство:
Пусть
б.м.п. Возьмём
в определение для бесконечно малых
последовательностей
:
для
М=max
,
М=max
,…
+ 1
Лемма 2.
1)
Если
для
,
то
– б.б.п.
2)
Если
– б.б.п. и
– б.м.п.
Доказательство:
1)
Пусть А – произвольное положительное
число
подставим
в определение б.м.п. для
:
Для
при
2)
Фиксируем произвольную
А=
подставляем в определение 2 для А=
=
Лемма 3
1)
– б.м.п.
–б.м.п.
2)
сумма
разность
2-х б.м.п. = б.м.п.
Доказательство:
1)
Определение того, что
и последовательность из модуля
2)
и
Для
:
Для
:
Фиксируем
произвольно
и положим
=
и
=max
,
Очевидно, что при n N выполняется неравенство:
Следствие: Алгебраическая сумма любого конечного числа б.м.п. – б.м.п.
Доказательство: методом математической индукции.
Лемма 4. Произведение ограниченной последовательности и б.м.п.= б.м.п.
Доказательство:
Для
:
для
Фиксируем
произвольно
=
ч.т.д.
Следствие 1 Произведение 2-х б.м.п.=б.м.п.
Доказательство: б.м.п. по Лемме 1 можно взять за ограниченную.
Следствие 2 Произведение любого количества б.м.п.= б.м.п.
Доказательство: методом математической индукции.
Лемма5.
Если
=
…
Доказательство:
Для
:
для
положительного
числа.
Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.
Определение:
последовательность
{xn}
называют сходящейся, если
такое,
что последовательность { xn
- a}
- бесконечно малая последовательность.
В этом случае говорят что последовательность
{xn}
сходится (к числу а), или имеет предел,
который равен а.
(
)
или (xn→a
при n→∞)
На «έ - языке»:
(
)
Для
Замечание:
В терминах окрестностей: (У МЕНЯ В КОНСПЕКТЕ НЕТ, в ПДФ СИМУШЕВА ЭТОГО ТОЖЕ НЕТ)
П
ример:
Доказать, что
Замечание:
1)
согласно определению
(
)
– бесконечно малая последовательность
=>
(a
+ альфа энное).
2) Добавление или отбрасывание у последовательности любого конечного числа членов не влияет на существование предела последовательности и его величину.
Теорема 1: сходящаяся последовательность {xn} имеет единственный предел.
Доказательство: пусть и b≠a. Докажем, что b не может быть пределом. Возьмём
;
для
;
.
Вне
этой окрестности может лежать лишь
конечное число членов этой последовательности,
поэтому в
может лежать лишь конечное число членов,
отсюда b
не является пределом.
Теорема 3: сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство:
фиксируем
M=max
.
З
амечание:
не всякая ограниченная последовательность
сходится.
Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.
Определение:
функцию
называют
числовой последовательностью.
-
члены числовой последовательности.
-
номер члена числовой последовательности.
или
,
=
,
-общий
член.
Определение:
Число
называется пределом последовательности
(пишут
),
если для любого положительного числа
(
>0)
можно указать такое число
,
зависящее от
,
что
для всех
.
Теорема: (о единственности предела): Если -сходящаяся, то предел единственный.
Д
оказательство:
Пусть
,
,
.
Для
определенности
имеем:
Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности): Если -сходится, то она ограничена.
-
сходящаяся
:
.
Возьмем
=1
.
Обозначим
,
тогда
,
тогда
Отсюда
для обоих случаев
Замечание: обратное не верно.
Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями.
Теорема 1: если {xn} и {yn} сходятся, то сходятся последовательности, являющиеся их суммой, разностью и произведением, причём:
1)
2)
3)
Пусть
=>
;
где {
},{
}
– бесконечно малые последовательности.
1-2)
3)
=>
Ч.т.д.
Л
емма:
Пусть {yn}
– сходится, причём
и
(
)
Тогда
ограничена.
Для
;
;
;
M=max
Теорема
2:
если {xn}
и {yn}
сходятся, причём
=a
,
и
(при n
N),
то
сходится к
(предел отношения равен отношению
пределов).
Доказательство:
– бесконечно
малая последовательность (
– ограниченная последовательность,
- бесконечно малая)
Теорема об арифметике пределов последовательностей.
Пусть
,
.
Тогда: 1)
существует
2)
существует
3)
если
то
существует
.
Доказательства:
где
и
-
бесконечно малые последовательности.
1)
бесконечно малые.
бесконечно
малые.
2)
=
бесконечно малая бесконечно малая
бесконечно малая
3)
где
-
бесконечно малая последовательность.
По условию
-ограниченная.
бесконечно
малая.
.