Вопрос №3. Ограниченные и неограниченные множества.

Определение. Множество А , если существует такое М что для каждого элемента х А выполняется неравенство х При этом число М называется верхней гранью множества А.

(А ограниченно сверху) ( М

Определение. Множество А нвзывается ограниченным снизу, если существует такое m , что для каждого элемента х m.При этом число m называется нижней гранью множества А.

(А ( .

Определение. Множество А называется ограниченным , если оно ограничено и сверху и снизу.

( ( _{1 1}).

Построим отрицание утверждения .

Если данное утверждение не имеет смысла, то предложение имеет место не для всех х А, то есть существует элемент х А , для которого не имеет места:

( х А )

Аналогично: ( В )

Правило. Для построения отрицания данной логической формулы, содержащей знаки и необходимо знак , а знак на и отрицание (черту) перенести на свойство, стоящее после стрелки .

Примеры:

1. (В - неограничено сверху) ( В х М)

2. (С - неограниченно снизу) ( : х m)

3. (D - неограниченно) ( х М₁)

4. А = (-∞; b) – ограничено сверху числом b.

5. В = (а; +∞) – ограничено снизу числом а.

6. С = (а; b) – ограничено сверху числом b, а снизу числом а (М₁ = max(а ; b)).

7. – ограничено множество.

Замечания:

1. Ограниченное сверху множество А имеет бесконечно много верхних граней. Если М - верхняя грань, то и М^* М – тоже.

2. Аналогично, ограниченное снизу множество В имеет бесконечно много нижних граней.

Вопрос №4: Точные грани числовых множеств. Существование точных граней у ограниченных множеств (с доказательством).

Точные верхние и нижние грани множеств.

Определение 1. Пусть множество ограничено сверху. В этом случае точной верхней гранью множества А называется число Sup A, равное наименьшей из всех верхних граней этого множества.

Определение 1* Число называется точной верхней гранью ограниченного сверху множества А, если оно удовлетворяет следующим 2-м условиям:

1. , то есть М-верхняя грань множества А

2. : , то есть ни одно число, меньшее М не является верхней гранью множества А.

Теорема. Определение 1 и определение 1* эквивалентны.

Определение 2. Пусть множество ограничено снизу. В этом случае точной нижней гранью множества С называется число inf C, равное наибольшей из всех нижних граней этого множества.

Определение 2*. Число называется точной нижней гранью ограниченного снизу множества С, если оно удовлетворяет следующим 2-м условиям:

1. , то есть m – нижняя грань множества С;

2. , то есть ни одно число, большее m не является нижней гранью множества С.

Теорема. Определение 2 и 2* эквивалентны.

Примеры:

1. А=(a; b) inf A = a и Sup A = b

2. С = inf C = a и Sup C = b

Определение 3.

Для неограниченного сверху множества А Snp A = +

Для неограниченного снизу множества С inf С =-

Теорема.

1) Всякое ограничение сверху непустое множество имеет Sup A .

2)Всякое ограничение снизу непустое множество С имеет inf C .

Доказательство. Докажем только 1-ый пункт теоремы. Рассмотрим множество В, состоящее из всех верхних граней множества А. Очевидно, что В . По свойству непрерывности множества для . Очевидно, что с = Sup A.

Замечание. Как видно из доказательства теоремы, она выражает важное свойство множества действительных чисел – полноту.