Алгоритм представления фал в днф или кнф:

1. Представить ФАЛ в базисе (в ОФПН).

2. С помощью законов Де Моргана исключить отрицание над логическими операциями

3. По закону кратного отрицания удалить кратные знаки отрицаний над переменными.

4. С помощью дистрибутивных законов удалить все суммы произведений (произведения сумм).

5. Произвести поглощения по правилу поглощений.

Пример: Привести к КНФ f(x₁,x₂) = ¬(x₁+x₂)  x₁∙x₂

1. AB = (A=>B)∙(B=>A) : (¬(x₁+x₂) => x₁∙x₂) ∙ (x₁∙x₂ => ¬(x₁+x₂)) A=>B = ¬A+B : ¬(x₁+x₂) => x₁∙x₂ = ¬¬ (x₁+x₂) + x₁∙x₂ B=>A = ¬B+A : x₁∙x₂ => ¬(x₁+x₂) = ¬(x₁∙x₂) + ¬(x₁+x₂)

2. ¬(A∙B) = ¬A+¬B : ¬(x₁∙x₂) = ¬x₁ + ¬x₂ ¬(A+B) = ¬A∙¬B : ¬(x₁+x₂) = ¬x₁ ∙ ¬x₂

3. ¬¬A = A : ¬¬ (x₁+x₂) = x₁+x₂ f = (x₁+x₂+x₁∙x₂)∙(¬x₁+¬x₂+¬x₁∙¬x₂)

5. A+(А∙В) = А : x₁+x₂+x₁∙x₂ = x₁+(x₂+x₁∙x₂) = x₁+x₂ ¬x₁+¬x₂ +¬x₁∙¬x₂ = ¬x₁+(¬x₂+¬x₁∙¬x₂) = ¬x₁ + ¬x₂

f(x₁,x₂) = (x₁+x₂)∙(¬x₁+¬x₂)

Нормальные формы (КНФ и ДНФ) не дают однозначного представления функции. Одну и ту же логическую функцию можно представить различными ДНФ и КНФ. Из всей совокупности нормальных форм выделяют одну ДНФ и одну КНФ, а именно такие формы, которые являются инверсными по отношению друг к другу, т. е. если одна из них равна «1», то другая при этом равна «0», и наоборот. В таких нормальных формах каждый член имеет симметричную структуру, т.е. в него входят все n переменных, причем любая переменная входит либо сама, либо ее инверсия. Такие нормальные формы называются совершенными.

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) называют наиболее полную форму записи ФАЛ. Это сумма, каждое слагаемое которой является произведением всех входных аргументов или их инверсий.

Например: F = ¬A¬В¬С + ¬А В¬С + А В¬С + А В С.

СДНФ является избыточной, но логические функции, записанные в СДНФ, легко сравнивать между собой, их удобно преобразовывать в таблицы истинности и составлять по ним карты Карно. Булево выражение, полученное из таблицы истинности логической функции, имеет совершенную дизъюнктивную нормальную форму.

В некоторых случаях более удобной формой записи логического выражения является совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ). Это произведение сомножителей, каждый из которых является суммой всех входных аргументов или их инверсий,

например: F = (¬А + В +¬С ) (¬А + В + С ) ( А +¬В + С ) ( А + В + С ).

• Любая булева функция, не являющаяся тождественным 0, имеет только одну СДНФ, с точностью до расположения членов.

• Любая булева функция, не являющаяся тождественной 1, имеет только одну СКНФ, с точностью до расположения членов.

17. Дайте определение понятия «функционально-полная система». Приведите критерий полноты. Поясните понятия, входящие этот критерий. Перечислите основные ФПН.

Функционально полной системой (набором) или базисом называют систему ФАЛ, суперпозицией (композицией исходных функций, т.е. применением одной функции к результату другой) которых может быть представлена любая булева функция.

Базис является минимальным если удаление хотя бы одной функции превращает систему ФАЛ в неполную. Иначе базис называется избыточный.

В матлогике все ФАЛ подразделяются на линейные, сохраняющие 0, сохраняющие 1, самодвойственные и монотонные. Суперпозиция линейных ФАЛ является линейной ФАЛ, суперпозиция сохраняющих константу – ФАЛ, сохраняющая константу и т.д.

Линейной называется ФАЛ, которую можно представить полиномом первой степени вида f(x₁, x₂,…, x_n)= a_n∙x_n a_n-1∙x_n-1 … a₁∙x₁ a₀, где a_i={0,1}, i=1..n.

ФАЛ сохраняет 0, если на нулевом наборе аргументов она равна 0, т.е. f(0, 0,…, 0)=0.

ФАЛ сохраняет 1, если на единичном наборе аргументов она равна 1: f(1, 1,…, 1)=1.

ФАЛ называется самодвойственная, если на каждой паре противоположных аргументов она принимает противоположные значения, т.е. f(x₁, x₂,…, x_n)= ¬f(¬x₁, ¬x₂,…, ¬x_n).

ФАЛ называется монотонной, если при возрастании набора аргументов ее значение не убывает. Набор аргументов считается больше другого, если в нем есть хотя бы один аргумент, больший по значению, и нет ни одного меньшего, например (0,0)<(0,1)<(1,1).

Критерий полноты (Теорема Поста): Система булевых функций является полной тогда и только тогда, когда она включает хотя бы одну функцию: не сохраняющую константу 0, не сохраняющую константу 1, не самодвойственную, нелинейную и немонотонную.

Используя теорему Поста и таблицу, можно строить ФПН. Из это же таблицы следует, что ОФПН – избыточный базис, т.к. конъюнкцию можно заменить отрицанием и дизъюнкцией, дизъюнкцию можно заменить отрицанием и конъюнкцией (законы де Моргана).

Из таблицы следует, что можно построить несколько ФПН (базисов). Основные базисы – это:

ОФПН (¬, ∙) (¬, +) Базис Пирса Базис Шеффера

18. Опишите основную операцию базиса Пирса (ИЛИ-НЕ). Выразите отношения ОФПН через эту операцию. Опишите ее свойства. Расскажите алгоритм перевода ФАЛ из ОФПН в базис Пирса.