Пример 32битного (single precision) представления числа

31	30	29	28	27	26	25	24	23	22	21	20	19	18	17	16	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
S	Exp								М

Смещение порядка 2⁷-1=127.

Число 0,5

1. 0,5₁₀ = 0,1₂

2. 0,1₂ = 1,0 × 2^-1

3. -1+127 = 126 = 01111110

4. 0,5₁₀ = 0 01111110 00000000000000000000000

5. 0011’1111’0000’0000’0000’0000’0000’0000b = 3F000000h

10. Дайте определение термина «битовый сдвиг». Перечислите известные Вам виды сдвигов и объясните различия между ними. Объясните, для чего используется сдвиг. Приведите примеры сдвигов.

Битовый сдвиг — изменение позиций всех битов в числе на одну и ту же величину.

Битовые сдвиги осуществляются в регистрах сдвига. Все сдвиги похожи друг на друга поведением средних битов, которые просто сдвигаются влево или вправо на определённую величину. Однако, поведение крайних битов, которые уходят из слова и которые появляются в слове, зависит от типа сдвига.

Логический сдвиг — сдвиг, при котором уходящий бит уходит, а на место появившегося бита записывается бит 0. Обозначаются shl (shift logical left) и shr (shift logical right).

11111010 shl 1 = 11110100 11111010 shr 1 = 01111101

Арифметический сдвиг — При этом сдвиге слово рассматривается не просто как группа битов, а как целое число в дополнительном коде. При сдвиге влево ведёт себя как логический сдвиг, при сдвиге вправо на место появившегося бита устанавливается бит, соответствующий знаку. Обозначается sal (shift arithmetic left) и sar (shift arithmetic right).

11111010 sal 1 = 11110100 11111010 sar 1 = 11111101

Сдвиг влево равносилен умножению числа на 2, сдвиг вправо – делению.

Исключение составляет -1: 11111111 sar x = 11111111 = -1.

На ЭВМ умножение реализуется как

последовательность сдвигов и сложений.

Как правило, нельзя сразу просуммировать несколько чисел, обычный сумматор рассчитан на сложение 2 операндов. Поэтому вначале в сумматоре находится 0. Затем происходит анализ разрядов множителя. Если в разряде 0, то происходит просто сдвиг. Если 1, то сдвиг и сложение промежуточной суммы с множимым.

0’1010 сумматор

×0’0101 00’000000000

00000 00’000000000 = 0 sal 1

+ 01010 00’000001010 = (0 sal 1)+1010

00000 00’000010100 = 1010 sal 1

01010 00’001000110 = (10100 sal 1)+1010

0’001000110

11. Дайте определение алгебры логики, логической переменной, логической функции, абсолютно истинных и ложных высказываний. Приведите примеры простых и сложных высказываний. Объясните суть «принципа исключения третьего».

Логика – наука о законах и формах мышления. Математическая логика изучает любые рассуждения с помощью методов математики. Математическая логика входит в группу фундаментальных наук, которые образуют теоретическую основу информатики.

Центральная идея математической логики восходит еще к Г.В. Лейбницу (1646-1716) и состоит в том, чтобы записывать математические утверждения в виде последовательностей символов и оперировать с ними по формальным правилам. При этом правильность рассуждений можно проверять механически, не вникая в их смысл.

Логическое высказывание, предложение – это утверждение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. В исчислении высказываний не рассматриваются утверждения, имеющие значения, отличные от «истинно» и «ложно». Используется двузначная логика: ответ, отличный от «Да», есть «Нет». Древние философы назвали этот принцип «законом исключенного третьего».

Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным предложением. Не каждое повествовательное предложение является логическим высказыванием. Высказыванием не является, например, предложение «Информатика – интересный предмет».

Любое высказывание можно обозначить символом, например, х, и считать, что х=1, если высказывание истинно, а х=0, если высказывание ложно.

Для обозначений также используют и большие буквы латинского алфавита: А, В, С…

Логическая (булева) переменная – такая величина х, которая может принимать только два значения 0 или 1: х = {0, 1}.

Алгебра логики – это раздел математической логики, значения всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует логическими высказываниями.

Английский математик Джордж Буль (1815-1864) впервые применил алгебраические методы для решения логических задач и разработал основные положения исчисления высказываний. Поэтому алгебру логики еще называют булевой алгеброй.

Высказывание абсолютно истинно, если соответствующая ему логическая величина х=1 при любых условиях (Земля – планета Солнечной системы).

Высказывание абсолютно ложно, если соответствующая ему логическая величина х=0 при любых условиях (Луна – спутник Марса).

Высказывания условно делятся на простые и сложные (составные). Высказывание, содержащее одну простую законченную мысль, не зависящее от других высказываний, является простым. Сложные высказывания образуются из двух и более простых с помощью логических операций. Их значения истинности зависят от значения истинности входящих простых высказываний. Простые высказывания – логические аргументы, сложные – логические функции.

Логическая функция – функция y = f(x₁, x₂,…, x_n), принимающая значение 0 или 1 на наборе переменных x₁, x₂,…, x_n.

Сложные высказывания могут служить основой еще более сложных, т.е. применим принцип суперпозиции. Следовательно, можно построить сколь угодно сложную логическую функцию, пользуясь ограниченным числом логических связей и принципом суперпозиции. Такой набор называется основным функционально полным набором (ОФПН).

12. Перечислите логические отношения, входящие в ОФПН. Постройте их таблицы истинности и опишите основные свойства. Приведите графическую интерпретацию и интерпретацию в виде переключателей.

В ОФПН входят три логических связи (базовые операции): инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.

Последовательность выполнения операций при отсутствии скобок в сложных логических формулах определяется старшинством операций (приоритетом). Наивысший приоритет имеет инверсия, затем следует конъюнкция и, наконец, дизъюнкция.

Отрицание (инверсия) – такая логическая связь между аргументом х и функцией у, при которой у истинна только тогда, когда ложен аргумент х, и ложна только тогда, когда истинен аргумент х.

Обозначается символами: ¬ ¯ ~ not НЕ.

Свойства отрицания:

1. Двойное отрицание (а также любое четное количество) аргумента х равно самому аргументу х.

2. Тройное отрицание (а также любое нечетное количество) аргумента х равно отрицанию аргумента х.

3. Отрицание обеих частей некоторого равенства не нарушает этого равенства: (f₁ = f₂) ≡ (~f₁ = ~f₂)