Непозиционные системы счисления

Непозиционные системы задаются перечислением изображаемых в них значений (или таблицей). Самая простая непозиционная система счисления – аддитивная, в которой используется только один символ I (I-1, II-2,…, IIIIII-6 и т.д.). Т.к. используется только один символ I, то еще ее называют единичной или палочной.

Классический пример – римская система счисления. Цифра (символ)

I всегда обозначает 1

V всегда обозначает 5

X всегда обозначает 10

L всегда обозначает 50

C всегда обозначает 100

D всегда обозначает 500

M всегда обозначает 1000

Так число 1678 записывается как MDCLXXVIII. Размещение меньшего числа справа от большего означает прибавление его к большему, слева – вычитание (VI – 6, IV – 4 и т.п.).

В непозиционной системе количественное значение цифр не меняется при изменении их положения в последовательности цифр, представляющей число.

Ранее использовались и др. непозиционные системы: древнеегипетская, вавилонская, у славян была алфавитная (в качестве цифр применялись буквы алфавита).

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления количественное значение (вес) каждой цифры, входящей в запись числа, зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Позиция символа в изображении числа называется разрядом.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: 5₁₀, 111010₂, AF178₁₆ и т. д.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Название ПСС с натуральным основанием соответствует ее основанию. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

5. Дайте определение термина «позиционная система счисления». Объясните, что такое «свернутая» и «развернутая» форма записи числа в позиционной системе счисления. Расскажите правило перевода чисел из десятичной системы счисления в произвольную позиционную.

В позиционных системах счисления количественное значение (вес) каждой цифры, входящей в запись числа, зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Позиция символа в изображении числа называется разрядом.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: 5₁₀, 111010₂, AF178₁₆ и т. д.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Название ПСС с натуральным основанием соответствует ее основанию. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q

a_n-1 a_n-2 ... a₁ a_0, a_-1 ... a_-m (свернутая форма)

означает сокращенную запись выражения

a_n-1 q^n-1+ ... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + ... + a_-m q^-m (развернутая форма)

где a_i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Базисом СС называется последовательность чисел, которая показывает во сколько раз меняется значение цифры в зависимости от ее позиции (или «вес» каждого разряда).

Например, для десятичной системы

База 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Базис …10³ , 10², 10¹ , 10⁰=1, 10^-1 , 10^-2…