Базис Пирса (или-не)

Выразим операции ОФПН через «стрелку Пирса»

1. = = x x или = = x 0

2. x₁+x₂ = = = (x₁ x₂) (x₁ x₂) = (x₁ x₂) 0

3. x₁∙x₂ = = = = (x₁ x₁) (x₂ x₂)

ФАЛ ОФПН	Выражение через стрелку Пирса	УГО	УГО в базисе Пирса
¬x	x x или x 0
x1+x2	(x1 x2) (x1 x2) или (x1 x2) 0
x1∙x2	(x1 x1) (x2 x2) или (x1 0) (x2 0)

Свойства «стрелки Пирса»

• Операция не идемпотентна, так как x x = ¬x (а,не х)

• Операция коммутативна, так как x₁ x₂ = x₂ x₁

• Операция не ассоциативна, так как x₁ (x₂ x₃) ≠ (x₁ x₂) x₃.

Многоместная операция Пирса:

x₁ x₂ x₃ = = = (x₁+x₂) x₃= ((x₁ x₂) 0) x₃

Алгоритм приведения ФАЛ и построения схемы в базисе Пирса местности t:

1. Произвольная формула с помощью эквивалентных преобразований по законам булевой алгебры вначале приводится к КНФ. Затем к КНФ применяется закон двойного отрицания и закон де Моргана для перехода в базис Пирса:

2. Если какие-либо операции Пирса в полученной записи имеют местность (арность) больше t, необходимо выразить их через операции местности t. Операции с местностью меньше t следует привести к необходимой местности, заменяя отсутствующие переменные константой 0.

3. Заменить каждую операцию Пирса местности t соответствующим элементом Пирса.

Пример:

f(x₁,x₂,x₃) = (x₁+x₂)∙(x₂+x₃)∙(x₁+x₃) ===

= = (x₁ x₂) (x₂ x₃) (x₁ x₃)

19. Опишите основную операцию базиса Шеффера (И-НЕ). Выразите отношения ОФПН через эту операцию. Опишите ее свойства. Расскажите алгоритм перевода ФАЛ из ОФПН в базис Шеффера.

Выразим операции ОФПН через «штрих Шеффера»

1. = = x|x или = = x|1

2. x₁∙x₂ = = = (x₁|x₂) | (x₁|x₂) = (x₁|x₂) | 1

3. x₁+x₂ = = = = (x₁ | x₁) | (x₂ | x₂)

ФАЛ ОФПН	Выражение через штрих Шеффера	УГО	УГО в базисе Шеффера
¬x	x|x или x|1
x1+x2	(x1|x1)|(x2|x2) или (x1 | 1) | (x2 | 1)
x1∙x2	(x1 | x2) | (x1 | x2) или (x1|x2) | 1

Свойства «штриха Шеффера»

• Операция не идемпотентна, так как x|x = ¬x (а,не х)

• Операция коммутативна, так как x₁ |x₂ = x₂ |x₁

• Операция не ассоциативна, так как x₁ | (x₂ | x₃) ≠ (x₁ | x₂) | x₃.

Многоместная операция Шеффера:

x₁ | x₂ | x₃ = = = (x₁∙x₂) | x₃= ((x₁ | x₂) | 1) | x₃

Алгоритм приведения ФАЛ и построения схемы в базисе Шеффера местности t:

1. Произвольная формула с помощью эквивалентных преобразований по законам булевой алгебры вначале приводится к ДНФ. Затем к ДНФ применяется закон двойного отрицания и закон де Моргана для перехода в базис Шеффера:

2. Если какие-либо операции Шеффера в полученной записи имеют местность (арность) больше t, необходимо выразить их через операции местности t. Операции с местностью меньше t следует привести к необходимой местности, заменяя отсутствующие переменные константой 0.

3. Заменить каждую операцию Шеффера местности t соответствующим элементом Шеффера.

Пример:

f(x₁,x₂,x₃) = x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃ === = (x₁|x₂) | (x₂|x₃) | (x₁|x₃)

20. Приведите классификацию ЛУ по способу ввода/вывода и по принципу действия. Перечислите некоторые виды комбинационных ЛУ и поясните их назначение.

ЛУ могут классифицироваться по ряду признаков.

1. По способу ввода/вывода информации:

• Последовательные (входные сигналы подаются на вход, а выходные снимаются не одновременно, а последовательно разряд за разрядом)

• Параллельные (все входные сигналы подаются на вход и все выходные сигналы снимаются одновременно)

• Последовательно-параллельные (входные и выходные сигналы представлены в разных формах: входные последовательные – выходные параллельные или наоборот).

2. По принципу действия:

• Схемы первого рода – комбинационные (КС) или автоматы без памяти (примитивные) – это ЛУ, выходные сигналы в которых однозначно определяются только действующей на данный момент комбинацией входных сигналов и не зависят от значений сигналов, действовавших ранее.

• Схемы второго рода - последовательные или автоматы с памятью (полные автоматы) – это ЛУ, выходные сигналы в которых определяются не только действующими на данный момент на входе комбинациями, но и всей последовательностью входных сигналов, которые действовали в предшествующие моменты времени.

К С можно представить в виде x-y полюсного элемента. Входное слово (входной алфавит) задается набором значений X=(x₁, x₂, …, x_n), а выходное слово (выходной алфавит) принимает значения из Y = (y₁, y₂, …, y_m).

КС может характеризоваться: числом входных сигналов, числом выходных сигналов, логической формулой и таблицей истинности.

А втомат с памятью задается тремя наборами переменных X, Y, Z, где Z – набор переменных, отображающий внутреннее состояние системы.

Для описания работы полного автомата указывается: набор входных сигналов, набор соответствующих внутренних состояний и набор выходных сигналов. Кроме того, обязательным является разделение всех наборов сигналов по временным интервалам. Специально оговаривается внутреннее состояние автомата да прихода входного сигнала - Z₀, внутреннее состояние, изменяемое с приходом очередного входного сигнала – Z_t, и внутреннее состояние после нового изменения – Z_t+1.

Различают 2 типа автоматов:

• Автомат, у которого выходная переменная в любом такте t_i зависит от внутреннего состояния и от входной переменной, называется автоматом Мили и задается уравнением Y_j=f(X_i,Z_i)

• Автомат, у которого выходная переменная в любом такте t_i зависит только от внутреннего состояния в этом такте, называется автоматом Мура и задается уравнением Y_j=f(Z_i).

Mультиплексор — устройство, имеющее несколько сигнальных (информационных) входов, один или более управляющих входов и один выход. Мультиплексор позволяет передать сигнал с одного из входов на выход, при этом выбор желаемого входа осуществляется подачей соответствующей комбинации управляющих сигналов.

Кроме основного назначения – коммутация сигналов – мультиплексор может быть использован для синтеза КС, выполняющей любую ФАЛ f(x).

Демультиплексоры производят обратную функцию, т.е. производят коммутацию одного информационного сигнала на 2ⁿ выходов, где n – число адресных входов. Такой демультиплексор называют полным.

Дешифратор (декодер) — комбинационное устройство, преобразующее n-разрядный двоичный, троичный или q-ичный код в qⁿ-ичный одноединичный код, где q – основание системы счисления. Логический сигнал появляется на том выходе, порядковый номер которого соответствует двоичному, троичному или k-ичному коду. Дешифратор – частный случай демультиплексора.

Шифраторы выполняют функцию, обратную дешифратору. С понятием шифратора, как правило, связано представление о сжатии данных, с понятием дешифратора – обратное преобразование.

Сумматор — логический операционный узел, выполняющий арифметическое сложение двоичных, троичных или n-ичных кодов двух (бинарный), трёх (тринарный) или n чисел (n-нарный). При сложении выполняются и другие дополнительные операции: учёт знаков чисел, выравнивание порядков слагаемых и т.п.