8.Виды случайных процессов. Гармонический сигнал со случайной амплитудой.

Различают нестационарные, стационарные и эргодические случайные процессы. Наиболее общий случайный процесс – нестационарный.

Случайный процесс   является стационарным, если его многомерная плотность вероятности   зависит только от величины интервалов  и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента  . Отсюда следует, что во-первых, для стационарного процесса одномерная плотность вероятности не зависит от времени, т.е.  ; во-вторых, двумерная плотность вероятности зависит от разности  , т.е.   и т.д. В связи с этим все моменты одномерного распределения, в том числе математическое ожидание и дисперсия, постоянны. Часто бывает достаточно для определения случайного процесса стационарным постоянство первых двух моментов. Таким образом для стационарного процесса:

Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если при определении любых статистических характеристик усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной бесконечно длинной реализации; в этом случае

и т.д.

Если представляет собой случайный ток или напряжение в электрической цепи, то - это постоянная составляющая, а - средняя мощность флуктуации.

Гармоническое колебание со случайной амплитудой

П усть

где  и  -постоянные величины;  -случайная величина, имеющая равномерную плотность вероятности в интервале от 0 до  (рис.3)

Рис. 3

В момент времени   мгновенное значение сигнала может быть любым в интервале от 0 до   Поэтому

График   имеет вид рис.4.

Рис. 4

М атематическое ожидание

Соответствующие вычисления интегралов дают

Как видно из приведенных соотношений, первые два момента случайного процесса зависят от времени, следовательно этот процесс нестационарный, и, следовательно, неэргодический.

9.Виды случайных процессов. Гармонический сигнал со случайной фазой

Различают нестационарные, стационарные и эргодические случайные процессы. Наиболее общий случайный процесс – нестационарный.

Случайный процесс   является стационарным, если его многомерная плотность вероятности   зависит только от величины интервалов  и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента  . Отсюда следует, что во-первых, для стационарного процесса одномерная плотность вероятности не зависит от времени, т.е.  ; во-вторых, двумерная плотность вероятности зависит от разности  , т.е.   и т.д. В связи с этим все моменты одномерного распределения, в том числе математическое ожидание и дисперсия, постоянны. Часто бывает достаточно для определения случайного процесса стационарным постоянство первых двух моментов. Таким образом для стационарного процесса:

Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если при определении любых статистических характеристик усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной бесконечно длинной реализации; в этом случае

и т.д.

Если представляет собой случайный ток или напряжение в электрической цепи, то - это постоянная составляющая, а - средняя мощность флуктуации. Гармонический сигнал со случайной фазой

Реализации такого процесса представляют собой гармонические колебания с известными (детерминированными) амплитудой и частотой, но со случайной фазой:   .  Здесь А – амплитуда (детерминированная), ω- частота (детерминированная) и φ– случайная начальная фаза, которая считается  равномерно распределенной на интервале 0 . . . 2π. Плотность вероятности распределения имеет вид

, в пределах   -  в остальных случаях.

Графики двух реализаций данного случайного процесса, представляющие собой синусоиды, смещенные друг относительно друга по временной оси приведены ниже.

  Рис.2  Реализации гармонического сигнала.

Конкретный вид реализации процесса  в данном случае определяется значением всего лишь одной случайной величины – начальной фазы. Существует понятие  квазидетерминированный случайный процесс. В случае квазидетерминированного случайного процесса вид реализаций определяется значениями конечного числа параметров.