20. Фиктивная переменная наклона: назначение; спецификация регрессионной модели с фиктивной переменной наклона; значение параметра при фиктивной переменной

Фиктивные (искусственные) переменные (dummy variables)- это переменные с дискретным множеством значений, которые количественным образом описывают качественные признаки.

В регрессионных моделях применяются фиктивные переменные двух типов: переменные сдвига и переменные наклона.

Фиктивная переменная наклона изменяет наклон линии регрессии. При помощи фиктивных переменных наклона можно построить кусочно-линейные модели, которые позволяют учесть структурные изменения в экономических процессах (например, введение новых правовых или налоговых ограничений, изменение политической ситуации и т. д.). Для учета возможного изменения наклона графика модели при изменении градации качественного фактора предлагается ввести в спецификацию модели еще одно слагаемое вида «d умноженное на x». Спецификация регрессионной модели в этом случае (например, для парной регрессионной модели, для простоты) имеет вид: Y(t)= β0+β1*x+δ* dt*x+ε

dt = 0 – до структурных изменений

1 – после структурных изменений,

dt-бинарная переменная

Фиктивная переменная входит в уравнение в мультипликативной форме. Оценки параметров рассчитываются с помощью метода наименьших квадратов. Параметр при фиктивной переменной характеризует степень изменения наклона графика функции регрессии под воздействием качественного фактора.

21. Дифференциальный закон распределения как характеристика случайной переменной (я так поняла, что это нормальный закон распределения непрерывной св)

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону с параметрами μ и σ, если ее плотность распределения есть

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия. Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Если случайные величины X1 и X2 независимы и имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями μ1 и μ2 и дисперсиями и соответственно, то X1 + X2 также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием μ1 + μ2 и дисперсией .

22. Спецификация и оценивание мнк эконометрических моделей нелинейных по параметрам. Через Поиск решения к.76

В моделях, нелинейных по параметрам, например степенных или показательных, непосредственное применение МНК для их оценки невозможно, так как необходимым условием применимости МНК является линейность по коэффициентам уравнения регрессии. В данном случае преобразованием, которое приводит уравнение регрессии к линейному виду, является логарифмирование. Логарифмические модели: Y = AXb, где А и b— параметры модели. Прологарифмируем обе части данного уравнения: ln(Y)=ln(A) + b_*ln(X) = a+b_*ln(X), где а= ln(A) (*). Спецификация, соответствующая (*) называется двойной логарифмической моделью: ln(Y)= a+ b_*ln(X)+u, поскольку и эндогенная переменная, и регрессор используются в логарифмической форме. Введем обозначения: Y*=ln(Y), X*=ln(X)

Y*=a+b*X+u

Получаем спецификацию линейной модели, к которой при соответствующем включении случайного возмущения применим МНК.

В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, МНК применяется к преобразованным уравнениям. Пусть получена МНК-оценка моделиY*=a+b*X+u:

y*= ā+ bx+u

(S ā) (Sb) (Su)

Коэффициенты исходной модели и их стандартные ошибки вычисляются с учетом замены.

Нелинейный МНК. В общем случае оценка нелинейных по параметрам уравнений выполняется с помощью так называемого нелинейного метода наименьших квадратов (НМНК).

Обозначим нелинейное по параметрам уравнение регрессии f(X, ß) (X— матрица регрессоров,ß — вектор параметров). Параметры уравнений в данном методе подбираются таким образом, чтобы максимально приблизить кривую f(X, ß) к результатам

наблюдений эндогенной переменной Y. Таким образом, здесь, как и в обычном

МНК, минимизируется сумма квадратов отклонений:

(**)

Если продифференцировать F по параметрам и приравнять производные нулю, то получим нелинейную систему нормальных уравнений. В случае линейного уравнения

регрессии нормальные уравнения представляли собой систему линейных уравнений,

решение которой не составляло труда.

Нелинейный метод наименьших квадратов сводится к задаче минимизации функции (**)

нескольких переменных ß=(ß1,…,ßn)

23. F-тест качества спецификации множественной регрессионной модели

F =R^2/(1-R^2)*(N-m-1)/m

Коэффициент детерминации R²

Статистикой обсуждаемого ниже критерия гипотезы H₀: R₂=0 (гипотеза о том что модель

абсолютно плохая) против альтернативы H₁: R₂≠0 служит случайная переменная:

где n — число единиц совокупности; m - число параметров при переменных х

Fтабл – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости а. Уровень значимости а - вероятность отвергнуть пра¬вильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно а принимается равной 0,05 или 0,01.

Если Fтабл<Fфакт, то Н₀ - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если Fтабл>Fфакт, то гипотеза Н₀ не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.