3. Ускорение материальной точки

В общем случае (и чаще всего) при движении материальной точки скорость меняется как по величине, так и по направлению. Пусть в момент времени материальная точка двигалась со скоростью , а при – скоростью . Перенесем начало вектора скорости из точки В в точку А, сохраняя величину и направление вектора . Тогда приращение скорости (рис.2.4).

Среднее ускорение на отрезке траектории между А и В:

(2.13)

Величина вектора среднего ускорения показывает, как быстро (в среднем) происходит изменение скорости точки, а направление его совпадает с направлением вектора изменения скорости, т.е. направлено под углом к траектории в сторону её вогнутости.

Δυ_τ

υ₁

A

Δv

ΔS

B

Δυ_n ^υ₂

0

υ₂

Рис. 2.4.

Однако знание перемещения и средней скорости не дает достоверной информации о характере движения в данной точке пространства. Поэтому нужно уменьшить промежуток времени. При его уменьшении будет уменьшаться и величина вектора приращения скорости, следовательно, отношение (2.13) будет стремиться к определенному пределу. Ускорением (точнее мгновенным ускорением) материальной точки в данной точке траектории в данный момент времени называется предел отношения (2.13) при :

(2.14)

Из этого определения следует, что:

• ускорение есть векторная величина;

• ускорение направлено под углом к траектории в сторону её вогнутости;

• ускорение представляет собой первую производную вектора скорости по времени;

• ускорение представляет собой вторую производную радиус-вектора по времени; это следует из формул (2.14) и (2.6);

• вектор ускорения можно представить в виде

, (2.15)

, (2.16)

или ; (2.17)

• составляющие вектора скорости по координатным осям равны:

, , ; (2.18)

• величина ускорения равна ; (2.19)

• для нахождения закона движения необходимо найти проекцию ускорения на оси координат по известным зависимостям проекций вектора скорости от времени, а затем интегрировать левую половину уравнений (2.18);

• направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора скорости только в случае ускоренного (или замедленного) прямолинейного движения.

Закон движения материальной точки находится из решения уравнений (2.18). Для примера рассмотрим равноускоренное прямолинейное движение, т.е. , где изменяется только скорость: , где – единичный вектор скорости.

Из этого выражения следует, что в случае увеличения со временем скорости (т.е. ), ускорение направлено так же, как скорость, а модуль ускорения равен . Если же скорость со временем уменьшается (т.е. ), направление ускорения противоположно направлению скорости, а модуль ускорения равен .

Пусть движение происходит равноускоренно вдоль оси Ох, т.е. движение равноускоренное и прямолинейное. Тогда из первого уравнения (2.18) имеем:

Рассмотрим подробнее, как меняется скорость при криволинейном движении. Пусть материальная точка за некоторый промежуток времени перемещается из положения А в положение В с изменением скорости от до . Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с точкой А. Соединим концы векторов и . Тогда приращение векторов скорости равно . Отложим на векторе вектор, равный вектору . Следовательно, вектор можно рассматривать как сумму двух составляющих: как показано на рисунке, обозначим их и , т.е. . Тогда среднее ускорение равно .

Используя (2.14), из последнего выражения получим:

, (2.20)

где и – соответственно нормальное и тангенциальное ускорения. Причем в пределе направления и практически совпадают, следовательно, вектор направлен так же, как и вектор по касательной в каждой точке траектории, а его значение определяют изменения величины (модуля) скорости:

(2.21)

Нормальная составляющая ускорения при этом окажется перпендикулярной вектору скорости , направленному перпендикулярно касательной к траектории, и показывать изменение направления скорости (рис. 2.5).

V

α_τ

α

α _n

Рис.2.5.

Величина (модуль) полного ускорения при его разложении на нормальную и тангенциальную составляющие равна:

(2.22)