2 6. Числовые характеристики.

Размахом варьирования называется число

В ыборочным средним называется среднее арифметическое значение вариант

Замечание.

Выборочное среднее является несмещенной состоятельной оценкой математического ожидания.

В ыборочной дисперсией называется среднее значение квадратов отклонения вариант от выборочного среднего

Получим, что

Замечание.

В ыборочное среднее является смещенной оценкой теоретической дисперсии.

Можно показать, что

В качестве несмещенной оценки дисперсии используется исправленная выборочная дисперсия

В ыборочным средним квадр. отклонением называется квадр. корень из выборочной дисперсии

И справленным выборочным средним квадратическим отклонением называется величина S (корень из ).

Замечание.

Выборочное среднее и выборочная дисперсия обладают теми же свойствами, что и мат. ожидание и дисперсия дискретной СВ.

Н ачальным моментом r-го порядка называется среднее значение r-х степеней вариант

Ц ентральным моментом r-го порядка называется среднее знач. отклонений в степени r среднего

Модой Mo вариационного ряда называется варианта, имеющая наибольшую частоту.

М едианой Me вариационного ряда называется варианта, которая делит ряд на две части, равные по числу вариант.

Асимметрией называется величина

Замечание.

А симметрия характеризует меру симметричности эмпирической кривой распределения относительно среднего значения.

Д ля нормального распределения

Эксцессом называется величина

Замечание.

Э ксцесс характеризует степень островершинности эмпирической кривой распределения по сравнению с нормальной кривой.

Для нормального распределения

27.Точечные оценки.

ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА - оценка, имеющая конкретное числовое значение. Например, среднее арифметическое: X = (x₁+x₂+...+x_n)/n, где: X - сред. арифм. (точеч. оценка МО);  x₁,x₂,...x_n - выборочные значения; n - объем выборки. 

Для непрер. случ. величин вероятность того, что точечная оценка (ширина доверительного интервала равна 0) совпадет с любым заданным значением или оцениваемым параметром, равна 0.      Таким образом, точечная оценка имеет смысл лишь тогда, когда приведена характеристика рассеяния этой оценки (дисперсия). В противном случае она может служить лишь в качестве исходных данных для построения интервальной оценки.

28.Интервальные оценки.

О ценка неизвестного параметра, которая задается двумя числами (концами интервала), называется интервальной.

П усть по выборке получена точечная оценка неизвестного параметра

П усть и

Чем меньше , тем точнее оценка.

Замечание.

С татистические методы не позволяют утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству

Можно говорить лишь о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Н адежностью (доверительной вероятностью) оценки называют вероятность , с которой осуществляется неравенство т.е.

Д оверительным называется интервал который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью

— точность оценки.

П остроение доверительного интервала:

1) вычисление точечной оценки ;

2 ) выбор надежности (0,95; 0,99; 0,995);

3) вычисление точности .

п .2. Распределения СВ, используемые в статистике.

Р аспределение

П усть СВ независимы и:

Тогда СВ

н азывается распределенной по закону с n степенями свободы.

М ат. ожидание:

Д исперсия:

Квантилью распред-ия ,отвечающей уровню значимости , назыв. такое значение , при котором:

Замечание.

Значения квантилей приводятся в специальных таблицах.

Р аспределение Стьюдента

П усть

СВ имеет распределение с k степенями свободы.

Т огда СВ

называется распределенной по закону Стьюдента с k степенями свободы.

Мат. ожидание:

Д исперсия:

К вантилью распределения Стьюдента, отвечающей уровню значимости, называется такое значение , при котором:

Замечание.

Значения квантилей приводятся в специальных таблицах.