2.4. Частотные характеристики

Важную роль при описании линейных стационарных систем (звеньев) играют частотные характеристики. Они получаются при рассмотрении вынужденных движениях системы (звена) при подаче на её вход гармонического воздействия.

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, который можно сформулировать следующим образом: реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет ограничиться изучением систем только с одним входом. В общем случае уравнение линейной стационарной системы с одним входом можно записать так:

(a₀pⁿ + a₁p^n-1 + ... + a_n)y = (b₀p^m + b₁p^m-1 + ... + b_m)u. (2.4.1)

Её передаточная функция W(p) по определению равна

(2.4.2)

Функцию W(j), которую получают из передаточной функции (2.4.2) при подстановке в нее p = j:

(2.4.3)

называют частотной передаточной функцией. Частотная передаточная функция является комплекснозначной функцией от действительной переменной , которая называется частотной.

Функцию W(j) можно представить в виде:

W(j) = U() + jV() = A()e^j() (2.4.4)

где

(2.4.5)

(2.4.6)

При вычислении () по формуле (6) значение k определяют, исходя из каких-либо дополнительных соображений. На комплексной плоскости (рис. 2.3) частотная передаточная функция W(j) определяет вектор , длина (модуль) которого равна А(), а аргумент (угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью)  (). Кривую, которая описывает конец этого вектора при изменении частоты от нуля до бесконечности (иногда от  до ), называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

Рисунок 2.3

Частотную передаточную функцию называют также амплитудно-фазовой частотной функцией. Её действительную часть U = ReWj и мнимую часть V() = ImW(j) называют соответственно вещественной и мнимой частотной функцией. График вещественной частотной функции (кривая зависимости U = U()) называют вещественной частотной характеристикой, а график мнимой частотной функции - мнимой частотной характеристикой.

Модуль А() = |W(j)| называют амплитудной частотной функцией, её график амплитудной частотной характеристикой.

Аргумент ()  =  arg W(j) называют фазовой частотной функцией, её график - фазовой частотной характеристикой.

Кроме перечисленных частотных характеристик, используют ещё логарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ), логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) и логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ). Функция

L() = 20 lg А() = 20 lgW(j)

есть логарифмическая амплитудная частотная функция. График зависимости логарифмической амплитудной частотной функции L() от логарифма частоты (lg) называют логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ). При построении, ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе на отметке, соответствующей значению lg, пишут само значение частоты , а не значение lg, а по оси ординат - L(). Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) называют график зависимости фазовой частотной функции () от логарифма частоты lg. При его построении по оси абсцисс, как и при построении ЛАЧХ, на отметке, соответствующей значению lg , пишут значение .

Единицей измерения L() является децибел, а единицей измерения логарифма частоты в ЛЧХ - декада. Декадой называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты в 10 раз говорят, что она изменилась на одну декаду.

Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произвольную точку, а не через точку  = 0. Частоте  = 0 соответствует бесконечно удаленная точка:

lg  при  0.

Рассмотрим, какой физический смысл имеют частотные характеристики и как можно построить их экспериментально.

Найдем математическое описание вынужденного движения системы при подаче на её вход гармонического воздействия, например,

u = u_mcost (2.4.7)

Для этого решим уравнение (2.4.1), подставив в правую часть выражение (2.4.7). Общее решение имеет вид

y(t) = y_c(t)y_в(t), (2.4.8)

где y_c - общее решение однородного уравнения, а y_в - частное решение неоднородного уравнения.

Составляющая y_c(t) определяет свободное движение (переходный процесс). В устойчивых системах она со временем затухает y_c(t)  0 при t  . Вынужденное движение описывается частым решением y_в(t). Чтобы найти его, представим входное воздействие (2.4.7) с помощью формулы Эйлера в виде суммы

где

(2.4.9)

В силу принципа суперпозиции решение уравнения (2.4.1) можно также представить в виде суммы y = y₁ + y₂, где y₁ - решение при u = u₁, а y₂ - решение при u = u₂. Найдем отдельно каждое из этих решений. Подставим выражение для u₁ в правую часть уравнения (2.4.1) вместо u. Тогда как

(2.4.10)

уравнение (2.4.1) примет вид

(a_opⁿ + a₁p^n-1 + ... + a_n)y₁ = [b_o(j)^m + b₁(j)^m-1 + ... + b_m]u₁ (2.4.11)

Частное решение уравнения (2.4.11) ищем в виде

y₁ = A₁u₁ = A₁ (u_m/2) e^jt , (2.4.12)

где А₁ не зависит от времени. При подстановке (12) в (11) получим

[a_o(j)ⁿ + a₁(j)^n-1 + ... + a_n]A₁u₁ = [b_o(j)^m + b₁(j)^m-1 + ... + b_m]u₁ ,

откуда определяем

Очевидно, это выражение совпадает с частотной передаточной функцией (2.4.3) рассматриваемой системы:

A₁ = W(j) = A()e^j()

Подставив это выражение в формулу (2.4.12), получим

Теперь найдем частное решение y₂ исходного уравнения, подставив вместо u выражение для u₂ из (2.4.9).

Так как

то (2.4.1) в этом случае

(a_opⁿ + a₁p^n-1 + ... + a_n)y₂ = [b_o(-j)^m + b₁(-j)^m-1 + ... + b_m]u₂

Частное решение этого уравнения будем искать в виде

y₂ = A₂u₂ = A₂ (u_m/2) e^-jt

Подставив те же выкладки, что при нахождении частного решения y₁, получим:

A₂ = W(-j) = A()e^-j()

(2.4.13)

Теперь, сложив (2.4.12) и (2.4.13) для y₁ и y₂, найдем математическое описание вынужденного движения

y = y₁ + y₂ = A()u_mcos[t + ()] (2.4.14)

Таким образом, при гармоническом воздействии в устойчивых системах, после окончания переходного процесса, выходная величина также изменяется по гармоническому закону, но с другими амплитудой и фазой. При этом отношении амплитуд выходной и входной величин равно модулю, а сдвиг фазы - аргументу частотной передаточной функции. И, следовательно, амплитудная частотная характеристика покажет изменение отношения амплитуд, а фазовая частотная характеристика - сдвиг фазы выходной величины относительно входной в зависимости от частоты входного гармонического воздействия.

Из приведенной физической интерпретации частотных характеристик ясно, как строить их экспериментальным путем. Для экспериментального построения частотных характеристик имеется специальная аппаратура, в состав которой входят генератор гармонических колебаний с регулируемой частотой и устройства для измерения амплитуды и фазы колебаний.